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Konvergenz-Grenzwert Aufgabe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Analysis, Folgen und Reihen, Grenzwert

Mathe-Lerner123 aktiv_icon

20:37 Uhr, 01.12.2015

Guten Abend Leute! :-)

Hab hier eine Aufgabe und wollte fragen,ob immerhin mein Ansatz richtig ist:

Also es soll (xn)n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen sein. Und ich soll nun beweisen, dass die Aussagen

1 - 3

äquivalent zueinander sind.

1. (xn)n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert

x = 0

.

2. ( ΙxnΙ )n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert

x = 0

.
3. ( x2n)n∈ℕ konvergiert gegen den Grenzwert

x = 0

.

Man muss dazu einfach die Implikationskette

1 \to 2 \to 3 \to 1

zeigen.

Und mein Ansatz für

1 \to 2

ist folgendes:

Seien

m

∈ ℕ und ∀n ≥

m

Es gelte: 1.

= 2

. und xn

\to x

⇒ ΙxnΙ

\to x (n \to

∞ )

Der Beweisansatz von mir sieht so aus:

Sei ε

> 0

\to

∃

n 0

∈ ℕ ∀

n

≥

n 0

Ι xn

- x

<

. .

. Der Zusammenhang hierbei ist, dass sowohl die

0,

als auch alles von ''∃ bis zum Betrag'' kleiner als Epsilon sei. Somit kann man doch sagen, dass alles von ''∃ bis zum Betrag'' in der Nähe der 0 liegen müsste bzw. im ''Umfeld''.

Man setze:

m := max {n 0, m}

Sei

n > n 1 > n 0, m

Ι ΙxnΙ

- x

Ι = Ι xn

- x

<

ε

Was fehlt mir bzw. was muss ich überarbeiten? Und wie mach ich dann den Schritt 2 zu 3?
Danke für schnelle Antworten!
Schönen Gruß! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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