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Konvergenz Quotient => konvergenz beider folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, Reihen

barracuda317 aktiv_icon

14:59 Uhr, 14.04.2012

Zeigen Sie, dass für zwei Folgen

(a_{n})_{n \in ℕ}, (b_{n})_{n \in ℕ}

mit

a_{n} > 0

b_{n} > 0

für alle

n \in ℕ^{*}

und

l i m_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = l i m_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = 1

gilt:

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

konvergiert

\overset{}{\Leftrightarrow} \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

konvergiert

Idee:

Kann ich aus

l i m_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = l i m_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = 1

folgern, dass

a_{n}

b_{n}

für alle

n \in ℕ

ist ?

Ich weiß jeweils, dass eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert. Für de Grenzwertsatz für Quotienten von Folgen war aber die Vorraussetzung, dass beide Folgen konvergieren.

In meiner Rechnung beginnt es bei:

∣ \frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a}{b} ∣ = ∣ \frac{b * (a_{n} - a) - a (b_{n} - b)}{b (b_{n})} ∣ \leq \frac{∣ b ∣ * ∣ (a_{n} - a) ∣ + ∣ a ∣ ∣ (b_{n} - b) ∣}{∣ b ∣ ∣ (b_{n}) ∣}

Kann ich damit schon irgendwie auf die Konvergenz von

b_{n}

schließen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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barracuda317 aktiv_icon

16:25 Uhr, 14.04.2012

Ich habe nun nochmal gelesen, und gemerkt dass ich da vollkommen falsch herangegangen bin. Es ist hier ja nicht die Konvergenz der Folgen zu zeigen, sondern die der Reihen. Da jedoch die Folgen dann Nullfolgen sein müssen, schließt dass das ja eig ein.

Jedenfalls hat dieses "Nochmal richtig lesen" dazu geführt, dass ich noch weniger eine Ahnung habe wie ich dort rangehen kann.

Ich möchte zeigen, dass

\sum_{n_{^}}^{\infty} a_{n}

konvergiert \iff

\sum_{n} = 1^{\infty} b_{n}

konvergiert.

Ich weiß, also dass

a_{n}

eine Nullfolge ist.

da

l i m_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}

gegen 1 gehen soll, gehe ich davon aus, dass auch b_n gegen 0 gehen muss, und dass in gleicher Geschwindigkeit. Allerdings bringt mir das für die Konvergenz der Reihe über

b_{n}

auch noch nichts.

michaL aktiv_icon

21:04 Uhr, 14.04.2012

Hallo,

trivialerweise gilt doch

b_{n} = a_{n} \cdot \frac{b_{n}}{a_{n}}

, sodass man für fast alle

n

b_{n} \leq 2 a_{n}

schreiben kann. Damit wird doch

\sum 2 a_{n}

zur konvergenten Majorante für

\sum b_{n}

.

Mfg Michael

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