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Konvergenz alternierende harmonische Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beweis, Konvergenz

Miausch aktiv_icon

23:17 Uhr, 17.02.2012

Hallo zusammen

Ich würde gerne den Beweis für die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe verstehen.
Bevor ich den Beweis Schritt für Schritt durchgehe, möchte ich eigentlich den Schluss vorwegnehmen:
Man betrachtet bezüglich dieser Reihe das Verhalten der Teilfolgen für gerade und ungerade Indizes.

Am Ende steht bei uns Folgendes:

Da

\forall n

∈

N :

| a_{n}

−

a_{n + 1} | = \frac{1}{n + 1}

haben beide Teilfolgen denselben Limes

a

.

Woraus folgt genau, dass wenn der Abstand der Teilfolgen beliebig klein wird, sie den gleichen Grenzwert haben (intuitiv ists ja schon klar, aber aus welchem Satz oder Ähnliches kann man das formal folgern?)

Vielen Dank
Miausch

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Sina86

13:48 Uhr, 18.02.2012

Hi,

wenn

(a_{n})_{n \in ℕ}, (b_{n})_{n \in ℕ}

zwei Folgen in

ℝ

sind, wobei

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

und

lim_{n \to \infty} ∣ a_{n} - b_{n} ∣ = 0

gilt, dann ist

\forall n \in ℕ :

0 \leq ∣ a - b_{n} ∣ = ∣ a - 0 - b_{n} ∣ = ∣ a - (a_{n} - a_{n}) - b_{n} ∣ \leq ∣ a - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} - b_{n} ∣

und somit nach Grenzwertsatz

0 \leq lim_{n \to \infty} ∣ a - b_{n} ∣ \leq lim_{n \to \infty} (∣ a - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} - b_{n} ∣) = 0 + 0 = 0

Also ist

lim_{n \to \infty} ∣ a - b_{n} ∣ = 0

und somit

lim_{n \to \infty} b_{n} = a

Es folgt also wesentlich aus den Grenzwertsätzen und der Dreiecksungleichung für den Betrag.

Gruß
Sina

Sina86

14:11 Uhr, 18.02.2012

Hm, aber auf dem zweiten Blick bin ich etwas verwirrt. Hast du nicht irgendetwas von geraden und ungeraden Indizes gesagt?

Was ist denn die Folge

(a_{n})

? Gilt

a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n}

? sollte dort dann nicht eher so etwas stehen wie

∣ a_{2 n} - a_{2 n - 1} ∣ = . . .

Miausch aktiv_icon

22:15 Uhr, 18.02.2012

Hey und vielen Dank!

Erstmals: Nein es steht tatsächlich ∣

a_{n}

−

a_{n + 1}

∣
Aber das kommt ja aufs gleiche raus, wenn "n" gerade ist, ist ja "n+1" ungerade und vice versa.

Was dein Vorgehen angeht, komme ich aber nicht so nach.

Inwiefern kannst du von Eigenschaften von ∣

a - b_{n}

∣ auf

lim_{n \to \infty}

∣

a - b_{n}

∣ schliessen?
Also in der ersten Zeile zeigst du ja, dass ∣

a - b_{n}

∣ beliebig klein wird, aber daraus folgt doch einfach mal, dass a beliebig nahe an

b_{n}

kommt?

LG

hagman aktiv_icon

12:41 Uhr, 19.02.2012

Um mal auf was ganz anderes zu kommen: Mir scheint der von dir bearbeitete Beweis etwas ungewöhnlich, zumindest nach dem, was davon durch dein Posting hindurchschimmert.

Allgemein ist

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} a_{n}

mit bereits dann konvergennt, wenn

(a_{n})

monoton fallende Nullfolge ist (Leibniz-Kriterium). Für die alternierende harmonische Reihe nimmt man natürlich

a_{n} = \frac{1}{n}

.
Insofern sehe ich nicht, was man überhaupt davon hat, die Teilsummen zu geraden und ungeraden Indizes .getrennt zu betrachten

Miausch aktiv_icon

23:16 Uhr, 19.02.2012

Da hast du Recht hagman, das kommt aber davon, dass wir uns diese Reihe angeschaut haben, als wir noch Folgen behandelt haben - also bevor bei uns in der Vorlesung Reihen (und damit die Konvergenzkriterien für diese) eingeführt worden sind.

Der Beweis geht dann so, dass man wiederum für gerade und ungerade Teilfolgen zeigt, dass sie sowohl monoton wie auch beschränkt sind (und damit konvergent).

Schliesslich muss man aber noch zeigen, dass diese zwei Grenzwerte der Teilfolgen übereinstimmen (damit würde dann ja die ursprüngliche Folge konvergieren). Und da wären wir wiederum bei meiner Frage.

LG

hagman aktiv_icon

21:50 Uhr, 20.02.2012

Ach so, na ja, wäre der Abstand der Grenzwerte größer als

ε,

so könnte man

. .

Sina86

23:22 Uhr, 20.02.2012

Aber dann zeigst du doch, dass z.B. die Folge der geraden Folgeglieder streng monoton fallend und nach unten beschränkt ist. Somit ist sie konvergent. Analog mit den ungeraden Folgegliedern. Dann zeigt der obige Beweis, dass beide Grenzwerte gleich sind.

Miausch aktiv_icon

15:27 Uhr, 28.02.2012

Ah ja, ich glaub jetzt ists mir auch klar.
Danke ihr beiden.

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