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Konvergenz einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Grenzwert, Häufungspunkt, Konvergenz

Dreemer aktiv_icon

13:41 Uhr, 12.11.2017

Hallo,

ich habe ein kleines Problem bezüglich der Bestimmung des Grenzwertes der folgenden Folge:

a_{n} = {(- 1)}^{n} \sqrt{n} \cdot (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

In meinen Augen scheint die Folge divergent zu sein, aber ich wurde darauf hingewiesen, dass diese Folge tatsächlich konvergiert.
Als Ansatz sollte ich die quadratische Ergänzung verwenden, wobei ich keine Ahnung habe, wie ich diese hier anwenden soll.
Ich habe die Folge ausmultipliziert, um zu schauen, ob ich was erkennen kann

a_{n} = {(- 1)}^{n} \sqrt{n} \cdot \sqrt{n + 1} - {(- 1)}^{n} \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = {(- 1)}^{n} \sqrt{n (n + 1)} - {(- 1)}^{n} \cdot n

= {(- 1)}^{n} \sqrt{n^{2} + n} - {(- 1)}^{n} \cdot n

Leider komme ich ab da nicht weiter.
Kann mir da jemand ein paar Tipps geben, um weiterzukommen?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Apilex aktiv_icon

14:05 Uhr, 12.11.2017

Die Folge

a_{n} = {(- 1)}^{n} \sqrt{n} \cdot (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

konvergiert nicht denn

b_{n} := \sqrt{n} \cdot (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

konvergiert gegen

\frac{1}{2}

(nicht gegen

0) \to

an springt zwischen

\frac{1}{2}

und

- \frac{1}{2}

versuch für das berechnen eine Binomische Formel auf

(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

anzuwenden um es in einen Bruch umzuwandeln. Der Grenzwert von sqrt(n)*Bruch lässt sich dann leicht berechnen.

Dreemer aktiv_icon

14:53 Uhr, 12.11.2017

Hallo,

danke für die Rückmeldung. Ich hätte jedoch eine weitere Frage, da ich wieder irgendwie nicht weiterkomme.

Bei der Betrachtung der Teilfolge

b_{n} = \sqrt{n} \cdot (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

kann man diese umschreiben in

b_{n} = \sqrt{n} \cdot \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \cdot (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n} \cdot (n + 1 - n)}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}

= \frac{\sqrt{n} \cdot (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) \cdot (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} = \sqrt{n} \sqrt{n + 1} - n

Ich komme ab da auch nicht mehr weiter. Habe ich zu viel gekürzt, so dass ich nicht die Konvergenz der Teilfolge erkennen kann?

Liebe Grüße

Apilex aktiv_icon

15:12 Uhr, 12.11.2017

\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

geht gegen

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{2 \cdot \sqrt{n}} \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

\to \frac{1}{2} \cdot 1

\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} \to 1

Dreemer aktiv_icon

15:21 Uhr, 12.11.2017

Hallo,

ich verstehe nicht so ganz, wie sie darauf kommen, dass die Teilfolge gegen

\frac{1}{2}

konvergiert, weil

\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} \to 1,

obwohl in der Gleichung

\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

steht.

Ich weiß nicht so genau, ob man die Summe unter dem Bruchstrich einfach so trennen darf.
Könnten sie mir da etwas auf die Sprünge helfen?

Liebe Grüße.

Apilex aktiv_icon

15:34 Uhr, 12.11.2017

aus

\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} \to 1

folgt

\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \to 1

Denn aus

\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} \to 1

\Rightarrow \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}} \to 1

und

\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \to 1

\Rightarrow \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}} \to 2

\Rightarrow \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \to \frac{1}{2}

\Rightarrow 2 \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \to 1

Dreemer aktiv_icon

18:51 Uhr, 12.11.2017

Hallo,

vielen Dank für die Rückmeldung. Ich bin ehrlich gesagt überrascht, dass man auf diese Weise auf die Lösung kommen kann. Das muss ich mir auf jeden Fall im Hinterkopf behalten.
Ich schließe dann mal die Diskussion.

Liebe Grüße.

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