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Konvergenz einer Folge beweisen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

DanielWerner aktiv_icon

20:00 Uhr, 15.11.2016

Hi :-)
Ich habe eine Aufgabe bei meinen Mathematikübungen für die kommende Woche bei der ich überhaupt keine Ahnung habe wie ich diese Lösen soll.
Bin echt über den kleinsten Hinweis froh.

mfg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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f' (x)

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f (x)

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Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

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Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

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\frac{0}{0}

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\frac{\infty}{\infty}

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Apilex aktiv_icon

20:56 Uhr, 15.11.2016

Du willst das |an|

< ε \Rightarrow \frac{3}{n^{4}} \leq \frac{3}{N^{4}} \leq \frac{3}{N} <

epsion für

n \geq N

und

(N \geq 1)

\Rightarrow \frac{3}{N} <

epsion nach

N

umstellen

\Rightarrow

dann den Wert für

N

aufrunden(

⌈ . .

⌉

)damit er eine Natürlich Zahl wird

\to

fertig

N (ε)

gefunden

Hilarius

22:11 Uhr, 15.11.2016

Hallo.
Wenn ich die bereits gegebenen Antwort (die durchaus richtig ist) vielleicht noch etwas ergänzen darf:

Du sollst bei der Aufgabenstellung zeigen, dass die Zahl 0 der Grenzwert der Folge

a_{n}

für

n \to \infty

ist.

Per definitionem ist eine Zahl a dann und nur dann der Grenzwert einer Folge

a_{n}

, wenn sie folgendes Kriterium erfüllt:

\forall ε \in ℝ, ε > 0 \exists n_{0} \in ℕ

sodass

\forall n \geq n_{0} : ∣ a_{n} - a ∣ < ε

.

d.h. wenn zu jeder beliebigen Zahl

ε > 0

ein Folgenindex gefunden bzw. angegeben werden kann, sodass ab diesem Folgenindex (und für alle weiteren, größeren Indices) der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert kleiner ist als die frei wählbare (beliebig kleine) Zahl

ε > 0

.

Also versuchst du genau das zu zeigen (und wie schon von Apilex erwähnt auf gut Deutsch die Definition nach einsetzen deiner Angaben von

ε

auf n umzustellen).

Als Ergebnis hast du dann eine Ungleichung, die dir erlaubt, ein beliebiges

ε > 0

einzusetzen, dann bekommste ein n raus (ggf. aufrunden, da n ja eine natürliche Zahl sein soll), dass ist dann der Folgenindex, ab dem der Abstand zwischen Folge und Grenzwert kleiner sein sollte als das von dir gewählte

ε

- mit der Überlegung kannste also auch die Probe machen, ob du richtig umgeformt/abgeschätzt hast.

Gruß

DanielWerner aktiv_icon

19:53 Uhr, 16.11.2016

Vielen Dank Leute habs dank eurer Erklärung und eingem nachdenken auch endlich kapiert :-)
lg

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