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Konvergenz einer komplexen Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beweis, Konvergenz

anonymous

16:37 Uhr, 25.11.2009

Hallo alle zusammen, ich würde gerne wissen, wie man die Konvergenz einer Komplexen Reihe mit

\sum_{k = 0}^{\infty} i^{k} a_{k}

zeigen kann, wenn für

{(a_{k})}_{k = 0}^{\infty}

eine monoton fallende Folge nicht negativer Zahlen mit

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

gilt?
Wäre für jede mögliche Antwort sehr dankbar.

Vielen Dank voraus.
Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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OmegaPirat

17:07 Uhr, 25.11.2009

hallo du kannst die reihe in eine alternierende reihe umschreiben und dann das leibnizkriterium anwenden, wenn ihr das nicht hattet, müsste man das leibnizkriterium noch beweisen.

anonymous

17:16 Uhr, 25.11.2009

Danke für deine Antwort. Anscheinend entspricht die Aufgabenstellung dem Leibniz-Kriterium, welches wir aber nur kurz für die divergente Reihe mit

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} a_{k}

besprochen haben. Aber ich weiss leider nicht, wie ich das auf eine komplexe Reihe anwenden soll. Könntest du vielleicht bitte deinen Ansatz kurz dokumentieren?

OmegaPirat

17:24 Uhr, 25.11.2009

das ist hier ganz einfach, schließlich gilt:

i^{4 k - 3} = i

i^{4 k - 2} = - 1

i^{4 k - 1} = - i

i^{4 k} = 1

jetzt kannst du die reihe in zwei teilreihen zerlegen (einen realteil und einen imaginärteil) beide reihen sind dabei alternierend.

anonymous

17:30 Uhr, 25.11.2009

Ich kann dir leider nicht ganz folgen, könntest du es etwas präzisieren?

OmegaPirat

17:37 Uhr, 25.11.2009

also wenn du

i

als basis hast und der exponent ganzzahlig ist, so können nur vier werte auftreten, nämlich

i, - 1, - i

und 1

es ist doch

i = i

i^{2} = - 1

i^{3} = - i

i^{4} = 1

i^{5} = i

...

.
das setzt sich so periodisch fort, ich habe das vorhin ganz allgemeingültig aufgeschrieben
du kannst jetzt nämlich folgendes schreiben

\sum_{k = 0}^{\infty} i^{k} \cdot a_{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot a_{2 k} + i \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot a_{2 k + 1}

anonymous

17:46 Uhr, 25.11.2009

Ok, verstehe...und jetzt hast du die Reihe noch quasi in Real- und Imaginärteil zerlegt. Die Frage wäre jetzt, wie man dann jetzt die Konvergenz beweisen könnte?, wenn aber die Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} a_{k}

divergiert.

OmegaPirat

17:49 Uhr, 25.11.2009

im allgemeinen divergiert diese reihe aber nicht und zwar genau dann nicht wenn

a_{k}

eine nullfolge, monoton fallend ist und alle

a_{k}

größer gleich null sind. Das besagt das leibnizkriterium.

anonymous

17:55 Uhr, 25.11.2009

Achso verstehe habe das mit einer Folge verwechselt.
Dann müsste man das so beweisen, dass deine zerlegte Reihe

\to 0

konvergiert, nur wie könnte ich denn jetzt die Reihe mit einem Imaginärteil

\to 0

konvergieren lassen? Oder verstehe ich da was verkehrt?

OmegaPirat

18:16 Uhr, 25.11.2009

der imaginärteil selbst ist ja eine reelle zahl, er wird nur in kombination mit dem

i

zu etwas imaginärem.

wenn imaginärteil und realteil konvergent sind, so ist auch die komplexe zahl konvergent

anonymous

18:27 Uhr, 25.11.2009

Ich verstehe schon und versuche auch jetzt mit der alternierenden Reihe die Konvergenz zu beweisen, aber irgendwie komme ich nicht ganz dahinter.

Tatu1 aktiv_icon

18:04 Uhr, 07.03.2011

Das leibniz-Kriterium für konvexe Reihen gilt nicht aber du kannst ganz gut Quotienten _Kriterium anwenden . Weil die folge

a_{n}

mon.fallend ist

a_{n} + \frac{1}{a_{n}} \leq 1

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18:06 Uhr, 07.03.2011

Korrektur:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq 1

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