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Konvergenz mit Substitution

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Konvergenz, Randwert, Substitution

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Connor1

Connor1 aktiv_icon

12:44 Uhr, 29.05.2017

Antworten

Hallo zusammen,

ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen, komme jedoch nicht weiter.
Die Aufgabe ist im Anhang.

Ich kann leider nicht erkennen, wo und wie ich substituieren kann. Ich hätte die Konvergenz beider Reihen erstmal mit dem Quotientenkriterium bewiesen und dann eine Randwertbetrachtung durchgeführt.

Ich habe bereits mehrere Aufgaben gesehen, wo man mit Substitution rechnen kann, ich weiß leider nicht wie das gehen soll.

Ich freue mich für jede Antwort!

Gruß

Unbenannt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:48 Uhr, 29.05.2017

Antworten

Hallo,

"Substitution" bezieht sich wohl darauf, dass Du zunächst mal

y = e^{x + 1}

setzen sollst und dann untersuchst, für welche

y

die Reihe konvergiert.

Gruß pwm

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:49 Uhr, 29.05.2017

Antworten

In a) brauchst Du keine Substitution, denn die Reihe ist

x^{n}

angegeben

In b) ist die Reihe in

(e^{x + 1})^{k}

, daher ist die natürliche Substitution

y := e^{x + 1}

. Dann rechnest Du den Konvergenzradius für die

y^{k}

-Reihe und resubstituierst dann zurück. Was in diesem Fall aber langweilig ist, denn der Konvergenzradius ist

\infty

, ob bzgl.

y

oder

x

- egal

Connor1

Connor1 aktiv_icon

21:17 Uhr, 29.05.2017

Antworten

Danke für die Antworten :-D)

Ich habe mal versucht die Aufgaben zu lösen.

Zu

a)

Konvergenz mittels Quotientenkriterium bestimmen

lim_{n \to \infty}

|an+1/an|

= lim_{n \to \infty} \frac{(7^{k} + 1) \sqrt{k + 5}}{(7^{k + 1} + 1) \sqrt{(k + 1) + 5}}

\Leftrightarrow lim_{n \to \infty} \frac{(7^{k} + 1) \sqrt{k + 5}}{(7^{k} \cdot 7 + 1) \sqrt{k + 6}}

\Leftrightarrow lim_{n \to \infty} \frac{7^{k} (1 + \frac{1}{7 k}) \sqrt{k} \cdot \sqrt{1 + \frac{5}{k}}}{7^{k} (7 + \frac{1}{7 k}) \sqrt{k} \cdot \sqrt{1 + \frac{6}{k}}}

kürzen

\Rightarrow lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot \sqrt{1}}{7 \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{7} = q

r = \frac{1}{q} = 7

x = [- 7,7]

zu

b)

Substitiution

e^{x + 1} = y,

Konvergenz mittels Quotientenkriterium bestimmen:

lim_{n \to \infty} \frac{k! e^{k}}{(k + 1)! e^{k + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{k! e^{k}}{k! \cdot (k + 1) e^{k} \cdot e}

kürzen:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{(k + 1) \cdot e} = 0

Stimmen die Rechnungen? Ich wüsste dann nicht wie ich den Konvergenzradius bei

b)

mit 1/"0" berechnen soll.

Ich freue mich auf die Antworten! :-)

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:27 Uhr, 29.05.2017

Antworten

"Ich wüsste dann nicht wie ich den Konvergenzradius bei b) mit 1/"0" berechnen soll"

Das bedeutet, dass Konvergenzradius =

\infty

.

Die Rechnungen sind OK.

In a) musst Du aber noch die Randpunkte auf Kovnergenz untersuchen.

Frage beantwortet

Connor1

Connor1 aktiv_icon

21:36 Uhr, 30.05.2017

Antworten

Vielen Dank für die Hilfe

!!!

:-)

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