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Konvergenz mittels epsilon - Definition

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, konvergente Folge, Konvergenz

Genovese aktiv_icon

14:49 Uhr, 03.11.2019

Hallo,

folgendes Problem:

Sei ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $a > 0$ . Zeigen Sie, dass es ein $K \in ℕ$ gibt, sodass $a_{n} > 0$ für alle $n > K$ .

Ich soll also das $K$ finden, ab dem alle Folgeglieder in der $ε -$ Umgebung sind bzw. formal $\exists K \in ℕ$ sodass $| a_{n} - a | < ε$ für alle $n > K$ .

Meine Idee war nun folgende:

Da ich bereits weiß, dass $a_{n}$ eine konvergente Folge ist, ist sie auch eine Cauchy-Folge. Deshalb habe ich das Kriterium als $| a_{n} - a_{m} | < ε$ geschrieben. Dann habe ich den Grenzwert $a > 0$ als "fruchtbare Null" eingesetzt und die Dreiecksungleichung gebildet. Also

$| a_{n} - a + a - a_{m} | \leq | a_{n} - a | + | a - a_{m} | < ε$ .

$| a_{n} - a | < ε,$ dass weiß ich ja bereits. Aber was kann ich über $| a - a_{m} |$ aussagen (vorausgesetzt die Idee hat überhaupt bis dahin Sinn gemacht)?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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michaL aktiv_icon

17:22 Uhr, 03.11.2019

Hallo,

> (vorausgesetzt die Idee hat überhaupt bis dahin Sinn gemacht)?

Die Voraussetzung ist aus meiner Sicht nicht erfüllt.

Du musst ein solches $K$ nicht finden, nur beweisen, dass es eines geben muss.
Bedenke, der Grenzwert $a$ ist größer als Null.

Wenn du Konvergenz korrekt verstanden hast/hättest (was aber erstaunlicherweise wirklich gar nicht so einfach ist), dann wäre dir klar, dass du jede positive reelle Zahl für ein $ε$ wählen kannst.
Welche wäre denn geeignet, um sicherzustellen, dass $∣ a_{n} - a ∣ < ε$ zu $a_{n} > 0$ führt?
Tipp: Klappe die Betragsungleichung zu einer Ungleichungskette aus!

Mfg Michael

Genovese aktiv_icon

23:39 Uhr, 03.11.2019

Danke dir erstmal! Dann versuche ich das mal umzusetzen.
Alles was mir als Ungleichungskette in den Kopf kommt ist folgendes:

$| a_{n} - a | \leq | a_{n} | + | a | < ε,$ wobei aufgrund von $a_{n} > 0$ und $a > 0$ auch $| a_{n} - a | \leq a_{n} + a < ε$ gilt.

Sei nun $ε = 2 a_{n} + a,$ dann gilt

$a_{n} + a < 2 a_{n} + a \Leftrightarrow - a_{n} < 0 \Leftrightarrow a_{n} > 0$ . (Ist es das, worauf du hinaus wolltest? Ansonsten stehe ich total auf dem Schlauch. Tut mir echt leid...)

Wählt man also $K > 2 a_{n} + a$ gilt für alle $n > K : | a_{n} - a | < ε$ .

Somit wäre (hoffentlich) bewiesen, dass ein solches $K$ existiert. Wenn nicht wäre es super, wenn du mir da nochmal helfen könntest.

michaL aktiv_icon

07:37 Uhr, 04.11.2019

Hallo,

nein, du verstehst es nicht.

Da $(a_{n})_{n \in ℕ}$ gegen $a > 0$ konvergiert, gibt es zu jedem $ε > 0$ ein $K (ε) \in ℕ$ , sodass für alle $n \in ℕ$ mit $n \geq K (ε)$ die Betragsungleichung $∣ a_{n} - a ∣ < ε$ gilt.

Mein Tipp war, diese Betragsungleichung zu einer äquivalenten Ungleichungskette auszuklappen: $a - ε < a_{n} < a + ε$

Wenn man zeigen will, dass $a_{n} > 0$ ab einem $n$ , würde es reichen, $ε$ geeignet zu wählen: $0 \overset{!}{<} a - ε < a_{n} < a + ε$
Nun schau die Ungleichungskette an, und lies ein geeignetes $ε$ ab (viele Lösungen sind möglich).

Mfg Michael

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