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Konvergenz prüfen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, Konvergenz, Reihen

eXistenZ aktiv_icon

01:32 Uhr, 15.04.2011

Hallo liebe MAthe Community

Ich habe hier ein Matheaufgabenblatt vor mir liegen wo es darum geht ein huafen Reihen nach konvergenz und absoluter konvergenz zu überprüfen.

Wir haben in der UNi das Wurzelkriterium, Maiorantenkriterium und das Quotzientenkriterium gelernt.

Leider verstehe ich bei allen 3 nicht wie ich diese anwende.

a) \sum_{n = 0}^{\infty} \sqrt{n}

wie kann ich hier überprüfen ob eine konvergenz vorliegt?

gruß

e Ξ

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

pwmeyer aktiv_icon

07:54 Uhr, 15.04.2011

Hallo,

notwendiges (nicht hinreichendes!) Kriterium ffür die Konvergenz einer Reihe

\sum a_{n}

ist

: a_{n} \to 0

. Bei Deinem Beispiel ist

a_{n} = \sqrt{n}

. Dies geht nicht gegen 0. Also ist die Reihe divergent.

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

09:30 Uhr, 15.04.2011

Hallo,

google mal nach Trivialkriterium!

Mfg Michael

eXistenZ aktiv_icon

09:59 Uhr, 15.04.2011

ok ich danke euch erstmal,
Also aber mit dem Trivialkriterium kann man eigentlich nur beweisen das die Reihe divergent ist? Darf ich also sagen, da

\sqrt{n}

keine nullfolge ist divergiert die reihe?

Reicht dies auch als "Beweis" aus?

Weil was Reihen und Folgen angeht, steig ich leider noch nicht so ganz durch, ich blick das thema noch nicht so, mir fehlt irgendwas greifbares

Gruß

anonymous

10:33 Uhr, 15.04.2011

Das Trivialkriterium ist ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz.

Mit anderen Worten:

Um Konvergenz einer Reihe nachzuweisen, berechnest du den

lim

der dazu gehörenden Folge.

Ist

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

so KANN die Reihe konvergent sein. Das muss das mit einem weiteren Kriterium nachgewiesen werden. Ist dies nicht der Fall, also

lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0,

so ist die Reihe divergent und du musst nichtmehr weiterrechnen.

eXistenZ aktiv_icon

10:45 Uhr, 15.04.2011

ok sprich wenn ich schreibe

lim_{n \to \infty} (\sqrt{n}) \neq 0,

reicht das als beweis?

anonymous

11:02 Uhr, 15.04.2011

Ja. Natürlich sollte man dann noch hinschreiben, dass die Reihe demnach nach dem Trivialkriterium divergent ist.

eXistenZ aktiv_icon

11:10 Uhr, 15.04.2011

ok, ich danke euch vielmals!

mh jetzt wollte ich noch schnell fragen ob ich bei folgender aufgabe das quotientkriterium anwenden kann, wenn ja teste ich das und poste euch meine erfolge xD

b) \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (1 + \frac{1}{n^{2}})

noch mal vielen dank

Gruß

anonymous

11:11 Uhr, 15.04.2011

{(- 1)}^{n} \cdot a_{n}

schreit immer nach Leibnizkriterium!

eXistenZ aktiv_icon

11:18 Uhr, 15.04.2011

sry wenn ich schon wieder poste hehe.
Alsooo das leibnitz kriterium sagt ja aus, das wenn die folge monoton fallend und eine reelle nullfolge ist, dann konvergiert die unendliche alternierende Reihe.

Das die Reihe alterniert haben wir ja durch (−1)n gegeben, darum meintest ja auch "das schreit nach leibnitz.

aber eine Nullfolge haben wir hier nicht wenn ich das so anschaue oder?
Denn die Folge an=1+1n2 für n→∞ konvergiert denke ich mal gegen 1 oder?
den

1 n 2

für n→∞ konvergiert gegen 0 und durch

+ 1

eben gegen 1

anonymous

11:32 Uhr, 15.04.2011

Kleines Hilfchen:

Leibniz sagt:

Wenn

a_{k}

eine monotone Nullfolge ist, ist die Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot a_{k}

konvergent.

Vorgehensweise:

1)

Kaffee holen

2)

Bei

{(- 1)}^{k}

macht's Klick: Leibniz.

3)

Nullfolge nachweisen durch:

lim_{k \to \infty} a_{k} = 0

4)

Monotonie nachweisen durch:

a_{k} = a_{k + 1}

Das Ergebnis musst du dann selbst deuten.

Wenn alles hinhaut ist die Reihe konvergent.

eXistenZ aktiv_icon

11:35 Uhr, 15.04.2011

jap genau so hab ich das nun auch in meinem aufschrieb gefunden und angewand, und schon beim untersuchen auf nullfolge musste ich feststellen das es keine nullfolge ist, kann ich somit schon behaupten das dies eine divergente reihe ist?

PS: Siehe bearbeiteten post eins drüber

\land

anonymous

11:35 Uhr, 15.04.2011

lim_{k \to \infty} a_{k} = 1

Korrekt.

Keine Nullfolge, daher

s_{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot a_{k}

divergent.

Hast du Schritt 1 befolgt?

eXistenZ aktiv_icon

11:40 Uhr, 15.04.2011

hehe ja hab ich gemacht, was kaffee so alles bewirkt,
Danke für die wiklich super starke hilfe!
Wollte dich noch fragen, ob ich dich vlt anschreiben dürfte falls ich in dem übungsblatt noch die eien oder andere schwierigkeit habe mit folgen und reihen?

anonymous

12:08 Uhr, 15.04.2011

Sehr gut. ;-)

Ja klar, aber ich denke du solltest es im Forum posten, dann haben alle etwas davon! Bin hier allerdings nicht so oft, kannst ja einfach eine Mail schicken, dann gucke ich mal. Aber es gibt hier einige, die deutlich fitter sind als ich. :-)

eXistenZ aktiv_icon

12:28 Uhr, 15.04.2011

ok alles klar.
Ja hast recht, im forum bringt es noch der allgemeinheit etwas.

Ich danke dir für deine hilfe und wünsch dir noch nen schönen freitag und ein schönes wochennde

gruß

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