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Konvergenz und Grenzwert von Reihe mit Variable

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Grenzwert, Konvergenz, Reihen, Variable

 
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Thilas

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20:41 Uhr, 21.11.2010

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Hey,
ich komme mit meinen Rechnungen/Überlegungen bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter:
∑i=1∞(-1)n(xn+1-xn)
Gesucht sind die x für die die Reihe konvergiert. Im Falle der Konvergenz soll man ebenfalls den Grenzwert errechnen.
Aufgrund der
(-1)n
dachte ich halt sofort an das Leibnitz-Kriterium aber das würde ja bedeuten dass man beweisen muss dass
(xn+1-xn)
eine monotone Nullfolge ist.
Und gerade bei diesem Beweis komme ich nicht weiter.
Nach Umformung hat man z.B. ja
xn(x-1)
da stehen.
xn könnte man als geometrische Reihe betrachten wenn |x|<1 aber dann hätte man ja nur Konvergenz bewiesen nicht aber ,dass die Partialfolge eine monotone Nullfolge ist.
Und aus der Voraussetzung für fallende Monotonie, die in diesem Fall wohl
xn+1-xn≥xn+2-xn+1
wäre werd ich auch nicht schlau.
Ein Anstoß um auf die Lösung zu kommen wäre sehr nett.
Danke im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Bummerang

Bummerang

23:01 Uhr, 22.11.2010

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Hallo,

im Prinzip hattest Du die Lösung schon vor Dir stehen:

∑n=1∞((-1)n⋅(xn+1-xn))

=∑n=1∞((-1)n⋅(x-1)⋅xn)

=(x-1)⋅∑n=1∞((-1)n⋅xn)

=(x-1)⋅∑n=1∞(-x2⋅n-1+x2⋅n)

=(x-1)⋅∑n=1∞(x2⋅n-1⋅(-1+x))

=(x-1)⋅(x-1)⋅∑n=1∞(x2⋅n-1)

=(x-1)2⋅∑n=1∞(x⋅x2⋅n-2)

=(1-x)2⋅x⋅∑n=1∞(x2⋅n-2)

=(1-x)2⋅x⋅∑n=0∞(x2⋅n)

=(1-x)2⋅x⋅∑n=0∞((x2)n)

Das ist jetzt eine geometrische Reihe, die Konvergenz liegt an x2. Den Wert der geometrischen Reihe kann man ermitteln und damit den Wert der Ausgangsreihe.
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