Konvergenz und Grenzwert von Reihen

Hallo. Hätte da noch eine Aufgabe :)

http//www.abload.de/img/reihepcm.jpg

Die a) habe ich in eine geometrische Reihe umgeformt und dann lösen können. Ich brauche allerdings Hilfe bei der b und bei der c.

Bei der b habe ich keine Möglichkeit gefunden die Reihe zu vereinfachen. Ich habe sie in zwei Summen aufgeteilt und dann versucht die Konvergenz durch Vergleichen zu beweisen, was mir nicht gelungen ist, weil ich keine passende Funktion gefunden habe. Auch Quotienten- und Wurzelkriterium haben mir nicht wirklich weiter geholfen. Bei der c) dachte ich, dass ich weiterkomme, wenn ich den Term in ein ln ziehe. Hat mir aber auch nicht weitergeholfen..

Wäre für einen Ansatz dankbar..

ciao, Simon.

Hallo ...noxxx

b) scheint nicht zu konvergieren. Für n = 1 ist der Ausdruck schon gar nicht definiert, hat aber immerhin den Grenzwert ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Ansonsten kann man den Bruch kürzen zu   ${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)}}$

Die Reihenglieder sind also allesamt positiv, d.h. es ist keine alternierende Reihe, weshalb man die Reihenglieder vertauschen kann.

Dann so aufteilen:  ${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)}-\frac{1}{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)}=\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}-\frac{1}{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)}}$

Nun gilt weiter:  ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}-\frac{1}{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)}>\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}-\frac{1}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$

${\displaystyle \sum _{}^{}\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}}$ ist aber divergent (harmonische Reihe), und  ${\displaystyle \sum _{}^{}\frac{1}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$ ist konvergent (irgendwas mit ${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$  (pi), falls Euler nicht irrte)

Bei c) kannst du das mal umformen:

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1)-\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\right)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(1-\frac{1}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2})=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}((1-\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left)\right(1+\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left)\right)=}$

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(1-\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(1+\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}$

Dann schreibst du die ersten ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Reihenglieder mal hin:

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{1}{2}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{3}{2}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{2}{3}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{4}{3}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{3}{4}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{3}{4}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{5}{4}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{4}{5}\right)+\mathrm{...}+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=}$

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{1}{2}\right)+(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{3}{2})+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{2}{3}\left)\right)+(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{4}{3})+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{3}{4}\left)\right)+(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{3}{4})+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{5}{4}\left)\right)+(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{4}{5})+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{5}{4}\left)\right)+\mathrm{...}+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=}$

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{1}{2}\right)+0+0+0+0+\mathrm{...}+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=}$

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{1}{2}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$

Der Grenzwert davon ist ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{1}{2}\right)}$, oder anders geschrieben: ${\displaystyle -\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\right)}$.

Alles klar?

Gruss

Paul

Dank dir vielmals. Bei der ersten hatte ich nicht gesehen, dass man aus n²-n ja n(n-1) machen und dann kürzen kann. Bei der zweiten habe ich nicht gesehen, dass irgendwann eine binomische Formel im ln steht...

ciao, Simon.

hätte noch zwei kurze Verständnisfragen:

1.Damit eine Reihe konvergiert müssen auch alle Teilsummen konvergieren, oder? Wie jetzt bei der Aufgabe b..

2. Wenn eine Reihe konvergiert, konvergiert auch automatisch ihre Folge.

Ich habe noch eine Aufgabe von der ich gerne wüsste ob ich sie richtig gerechnet habe.  Man soll herausfinden, für welches x die Reihe konvergiert. Folgendes habe ich gemacht:

${\displaystyle ={\mathrm{\Sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Dann habe ich einfach gesagt, dass das eine geometrische Reihe ist und die Konvergenz nur von |q|=|x| abhängt. Somit muss |x|<1 sein. Kann ich das einfach so machen? Falls nicht verstehe ich nicht, was die von mir in der Klammer wollen.

ciao, Simon.