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Konvergenz und Grenzwerte von Folgen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: divergenz, Folgen, Grenzwert, Konvergenz

Lexiii92 aktiv_icon

13:51 Uhr, 29.04.2015

Hallooo MathPeople,

ich soll die nachfolgenden Zahlenfolgen

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert

lim_{n \to \infty} a_{n}

bestimmen.

Für alle Folgen gilt

(n \in ℕ) :

a) a_{n} := \frac{n^{2} + 2 j^{n}}{n^{2} + 1}

b) a_{n} := \frac{2^{n}}{n^{2}}

c) a_{n} := \sqrt{- e x p (\frac{π j}{n})}

d) a_{n} := \sqrt{- e x p (- \frac{π j}{n})}

e) a_{n} := n \cdot (cosh (\frac{1}{n}) - 1)

Wir hatten in der Vorlesung nur das Quotientenkriterium. Was ist eigentlich der Unterschied zwischen Reihe und Folge?

Es ist ja die Formel

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | . .

. den Rest verstehe ich nicht wann gilt denn Konvergenz dann?
Wenn sie echt kleiner ist also

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \leq q < 1

dann ist sie absolut konvergent. Wir hatten den Begriff der absoluten Konvergenz gar nicht. Es wird auch nur nach Konvergenz gefragt.

Gilt

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \geq 1

dann ist sie divergent?

Wäre wirklich sehr dankbar für eine Erläuterung!

LG Lexi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

ledum aktiv_icon

15:05 Uhr, 29.04.2015

Hallo
Reihe= Summe über unendlich viele Summanden,
Folge,: einee menge von geordneten Zahlen, deine

a_{n}

Konvergenz. zu wissen

\frac{a}{n}

gegen 0 für

n

gegen unendlich. und jedes feste a Brüche mit Potenzen von

n :

Zähler und Nenner teilen. durch die höchste Potenz für 1
zu 2 was wächst schneller Zähler oder Nenner. du kannst es auch etwa erstmal für

n = 10,20,100

ausprobieren, dann zeigen.

3), 4)

was wird aus der Folge im Exponenten
5def von

cosh

einsetzen, dann wieder Folge im Exponenten ansehen.
das Quotientenkriterium ist für Reihen, aber wenn eine Folge nach unten beschränkt ist und

a_{n + 1} < a_{n}

dann muss sie konvergieren.
ein paar eigene Gedanken wären schön gewesen.
Gruß ledum

Lexiii92 aktiv_icon

09:45 Uhr, 02.05.2015

Ich probiere es mal.

a) | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = | \frac{\frac{{(n + 1)}^{2} + 2 j^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2} + 1}}{\frac{n^{2} + 2 j^{n}}{n^{2} + 1}} | = | \frac{({(n + 1)}^{2} + 2 j^{n + 1}) \cdot (n^{2} + 1)}{({(n + 1)}^{2} + 1) \cdot (n^{2} + 2 j^{n})} |

Soweit müsste es stimmen? Jetzt könnte ich ich ausmultiplizieren aber ich weiß dennoch nicht wie weiter vorgehen soll

: (

ich muss ja zeigen, dass es echt kleiner 1 ist für Konvergenz?

Ich danke,

Lexi

DrBoogie aktiv_icon

09:53 Uhr, 02.05.2015

Du hast nicht das gemacht, was ledum vorgeschlagen hat.
Du musst im Zähler und im Nenner durch

n^{2}

teilen, dann wird's schon einfach.

Lexiii92 aktiv_icon

09:59 Uhr, 02.05.2015

Also gar nicht in die

(a_{n + 1}

geteilt durch

a_{n}) -

Formel einsetzen? Der Browser zeigt wieder alles doppelt - dreifach an da ist mir der Sinn bei den Aussagen nicht ganz klar geworden.

Durch

n^{2}

\frac{\frac{n^{2} + 2 j^{n}}{n^{2}}}{\frac{n^{2} + 1}{n^{2}}},

bekannt ist ja, dass

\frac{1}{n} \to 0

für

n \to \infty

Aber kann ich das direkt benutzen?

Respon

11:56 Uhr, 02.05.2015

"Teile" den Bruch

\frac{n^{2} + 2 \cdot j^{n}}{n^{2} + 1} = \frac{\frac{n^{2} + 2 \cdot j^{n}}{n^{2}}}{\frac{n^{2} + 1}{n^{2}}} = \frac{1 + 2 \cdot \frac{j^{n}}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0

Und

j^{n}

kann nur die Werte

+ 1, - 1, j

bzw.

- j

annehmen.

Respon

12:03 Uhr, 02.05.2015

Alternative bei

e)

n \cdot (cosh (\frac{1}{n}) - 1) = \frac{cosh (\frac{1}{n}) - 1}{\frac{1}{n}}

L’Hospital anwenden

\Rightarrow \frac{sinh (\frac{1}{n}) \cdot (- \frac{1}{n^{2}})}{- \frac{1}{n^{2}}} = sinh (\frac{1}{n})

lim

bilden.

Lexiii92 aktiv_icon

12:08 Uhr, 02.05.2015

Bei

a)

steht dann doch

\frac{1}{1}

? Aber ist das auch Nachweis von Konvergenz, wenn ich direkt den Grenzwert bestimme?

Respon

12:10 Uhr, 02.05.2015

So ist es.

Lexiii92 aktiv_icon

12:17 Uhr, 02.05.2015

So wie ich es also verstehe, muss man dann nicht zwingend Konvergenzkriterien verwenden, um Konvergenz zu zeigen? Wieso prüft man nicht direkt immer auf Grenzwerte?

Bei

b)

geht das aber nicht so leicht mit dem Ausklammern bzw. teilen durch

n^{2}

? Dann kommt man immer auf das selbe.

Respon

12:19 Uhr, 02.05.2015

Es gibt Folgen, bei denen man den Grenzwert nicht so leicht oder überhaupt nicht bestimmen kann. Dann ist es wichtig, vorab die Konvergenz oder Divergenz zu überprüfen.
Deine Beispiele sind aber eher als leicht einzustufen.

Respon

12:22 Uhr, 02.05.2015

b)

Wie schon oben erwähnt wächst

2^{n}

bedeutend stärker als

n^{2}

. Man kann daher Divergenz vermuten.
Wenn du aber einen "Beweis" machen möchtest, dann

z . B

. L'Hospital.

Lexiii92 aktiv_icon

12:32 Uhr, 02.05.2015

l'Hospital hat unser Prof erwähnt, aber da am Freitag und davor die Woche war er nicht da, daher vermute ich es kommt noch.

Kann ich dann einfach argumentieren, dass

2^{n}

stärker gegen

n^{2}

wächst und somit die Folge divergiert?

Bei

c)

ist es schon knifflig, finde ich

\frac{π j}{n}

geht ja eig gegen Null, aber eingesetzt in die e-Funktion und dann noch daraus die Wurzel. Und der Wert der rauskommt

(\in

der e-Funktion) muss ja eig negativ sein damit es das - vor dem

e

eliminiert mhm

Respon

12:33 Uhr, 02.05.2015

Das mit dem "stärker wachsen" ist kein mathematischer Beweis, aber ein gutes Argument.

Respon

12:37 Uhr, 02.05.2015

c)

a_{n} := \sqrt{- e^{\frac{π \cdot j}{n}}}

Forme etwas um

\sqrt{- e^{\frac{π \cdot j}{n}}} = \sqrt{(- 1) \cdot e^{\frac{π \cdot j}{n}}} = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{e^{\frac{π \cdot j}{n}}} = i \cdot \sqrt{e^{\frac{π \cdot j}{n}}}

Und nun überlege ( steht aber auch schon weiter oben

),

was mit dem Exponenten geschieht.

Lexiii92 aktiv_icon

12:48 Uhr, 02.05.2015

\frac{π j}{n}

geht gegen Null und

e^{0} = 1

somit wäre die Wurzel aus

1, 1

? Dann noch mit dem

- j

bzw.

- i

davor?

Respon

12:49 Uhr, 02.05.2015

Sollte natürlich

j

sein.
Der Grenzwert wäre dann hier

j

Lexiii92 aktiv_icon

13:06 Uhr, 02.05.2015

Ja genau, sorry hab

i

.wie gedacht das - ist noch da.

Bei

d)

ist's ja das Gleiche bis auf das Minus im Argument vom

e,

aber das geht genauso gegen j?

Respon

13:08 Uhr, 02.05.2015

Und

e)

steht ja auch schon oben.

Lexiii92 aktiv_icon

13:13 Uhr, 02.05.2015

Und

sinh (0)

ist ja 0.

Also nochmal um Konvergenz nachzuweisen, kann man einfach den Grenzwert bestimmen? Wenn er existiert?

Respon

13:16 Uhr, 02.05.2015

So ist es. Allerdings kann oft für "Prüfungszwecken" ein Konvergenzkriterium zwingend verlangt werden.

Lexiii92 aktiv_icon

13:19 Uhr, 02.05.2015

Aber wenn es nicht explizit draufsteht, reicht es ja so?

Respon

13:20 Uhr, 02.05.2015

Ich würde es so sehen.

Lexiii92 aktiv_icon

13:50 Uhr, 02.05.2015

Okay kann ich noch 4 weitere Beispiele dazuposten?

Respon

13:51 Uhr, 02.05.2015

Zeit hab' ich nicht mehr viel, aber vielleicht reicht's für ein paar Bemerkungen.

Lexiii92 aktiv_icon

14:30 Uhr, 02.05.2015

1) a_{n} := \frac{n + 3 n^{3}}{n^{3} - n^{2} π + 1}

2) a_{n} := \frac{n^{5} + 1}{n^{3} - \sqrt{17}}

3) a_{n} := \frac{\sqrt{n} + n}{n^{\frac{1}{3}}} + \frac{- n^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{5}{3}}}{n + \sqrt{n}}

4) a_{n} := \frac{sin (n)}{n^{2}}

4)

divergiert da der Sinus beschränkt ist und

\frac{1}{n^{2}} \to 0

geht

1)

geht gegen 3?

DrBoogie aktiv_icon

14:32 Uhr, 02.05.2015

1) ja

4) falscher Schluss aus der richtigen Argumentation

Lexiii92 aktiv_icon

14:38 Uhr, 02.05.2015

4)

Falscher Schluss? Der Sinus nimmt nur Werte zwischen 1 und

- 1

an. Besser :-P) ?

Bei den anderen zwei weiß ich nicht wie ich da was vereinfachen soll, der Zählergrad ist auf jedenfalls höher als der Nennergrad.

DrBoogie aktiv_icon

15:42 Uhr, 02.05.2015

\frac{\sin (n)}{n^{2}}

ist konvergent (gegen

0

), weil

\sin (n)

beschränkt und

\frac{1}{n^{2}} \to 0

. Konvergent, nicht divergent

"der Zählergrad ist auf jedenfalls höher als der Nennergrad"

Das bedeutet Divergenz.

Lexiii92 aktiv_icon

19:44 Uhr, 02.05.2015

Dann ist

2)

und

3)

divergent?

DrBoogie aktiv_icon

00:59 Uhr, 03.05.2015

Ja, divergent

Lexiii92 aktiv_icon

09:08 Uhr, 03.05.2015

Okay danke ich grüble noch an weiteren Beispielen. Gleiche Aufgabenstellung auf Konvergenz prüfen und ggf. Grenzwert bestimmen.

1.1) a_{n} := \frac{{(n + 2)}^{n - 1}}{n^{n}}

1.2) a_{n} := {(1 - \frac{π j}{n})}^{2 n}

1.3) a_{n} := {(1 - j \cdot \frac{n + 1}{2 n})}^{2 n}

1.4) a_{n} := \sqrt{n^{2} + n} - n

Also meine Vermutungen sind, dass

1.1

konvergiert da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist?

Bei

1.2)

würde ich sagen

- \frac{π j}{n}

geht gegen Null für

n \to \infty

aber manchmal kann an sich echt irren.
Ich würde sagen es divergiert, aber es hängt ja in einer binomischen Formel zusammen daher bin ich unsicher.

Gleiches Problem bei

1.3

.

Bei

1.4)

würde ich so argumentieren, dass es immer wächst für

n \to \infty

also divergiert?

Danke Euch!

Lexi

Respon

09:18 Uhr, 03.05.2015

Vorsicht bei

1.4

Wir kommen hier zur "unbestimmten Form"

\infty - \infty

.
( Der

lim

wäre übrigens

\frac{1}{2})

DrBoogie aktiv_icon

09:20 Uhr, 03.05.2015

Bei 1) liegst Du richtig, aber es ist eine bessere Argumentation nötig.
Z.B. so:

\frac{(n + 2)^{n - 1}}{n^{n}} = \frac{(n + 2)^{n - 1}}{n^{n - 1}} \frac{1}{n} = (1 + \frac{2}{n})^{n - 1} \frac{1}{n} \to 0

, weil

(1 + \frac{2}{n})^{n - 1} \to e^{2}

und

\frac{1}{n} \to 0

.

In 2) und 3) brauchst Du wieder diesen Grenzwert:

(1 + \frac{x}{n})^{n} \to e^{x}

.

In 4) kannst Du das nutzen:

\sqrt{n^{2} + n} - n = \frac{(\sqrt{n^{2} + n} - n) (\sqrt{n^{2} + n} + n)}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n} + n} \to 0.5

Lexiii92 aktiv_icon

09:22 Uhr, 03.05.2015

Das meinte ich mit manchmal ist's mit Vorsicht zu genießen. Wie kommt man auf den Grenzwert

\frac{1}{2}

? Die Wurzel hat ja den Exponenten

\frac{1}{2}

mhm.

Sind meine anderen überlegen korrekt?

Ich danke!

Lexi

Lexiii92 aktiv_icon

09:26 Uhr, 03.05.2015

Ah okay danke!

{(1 + \frac{x}{n})}^{n} \to e^{x}

?

Okay das es diese Form annimmt bei der

1.2, 1.3

sehe ich also

{(1 + \frac{x}{n})}^{n}

Wie ich es jedoch ausnutzen soll? Es konvergiert doch nicht?

e^{x} \to 0

für

x \to - \infty

Für

+ \infty \to \infty

?

Mh

Lexi

DrBoogie aktiv_icon

09:31 Uhr, 03.05.2015

Lass Dir doch etwas Zeit, Du bist zu schnell und zu chaotisch. Denke gründlich nach.
In 2) und 3) hast Du Konvergenz und kannst den Grenzwert direkt berechnen.

Lexiii92 aktiv_icon

09:36 Uhr, 03.05.2015

Ah bei

1.2)

\to e^{j π} = - 1

Bei

1.3)

mhm schwer ich weiß nicht.

Lexi

DrBoogie aktiv_icon

09:43 Uhr, 03.05.2015

1.2 falsch

Bei 1.3 habe ich mich verkuckt, sorry, da geht es nicht über die Exponente, da divergiert es wirklich. Du kannst einfach zeigen, dass

∣ 1 - j \frac{n + 1}{2 n} ∣ \geq 1.1

ist (statt

1.1

kann man auch andere Zahlen

> 1

nehmen) für alle große

n

, damit ist es divergent.

UPDATE.

> 1

und nicht

> 0

natürlich

Lexiii92 aktiv_icon

10:54 Uhr, 03.05.2015

Ich hab das

2 n

nicht miteinbezogen. Aber es ging doch in die richtige Richtung?

Obwohl wenn man sich das aufbröselt:

1.2)

Für

n \to 0

{(1 - \frac{j π}{0})}^{2 \cdot 0} = 1

Für

n \to \pm \infty

{(1 - \frac{j π}{\infty})}^{2 \cdot \infty} = 1

(da ja

\frac{j π}{\infty}

gegen Null geht haben wir quasi

1^{\infty}

(Die laxe Schreibweise bitte nicht übel nehmen)

Aber ich verstehe dann nicht was es mit dem

{(1 - \frac{x}{n})}^{n} = e^{x}

auf sich hat.

1.3)

größer 1? Da komme ich nicht mit

: (

Wieso divergiert es wenn der Betrag größer 1 ist?

Lexi

Respon

11:09 Uhr, 03.05.2015

a_{n} := {(1 - \frac{π \cdot j}{n})}^{2 \cdot n}

Forme um:

{(1 - \frac{π \cdot j}{n})}^{2 \cdot n} = {[{(1 + \frac{(- π \cdot j)}{n})}^{n}]}^{2}

Der Term in der eckigen Klammer ( vergleiche mit

{(1 + \frac{x}{n})}^{n} \to e^{x})

geht gegen

e^{- π \cdot j} = - 1

\Rightarrow

lim

ist

{(- 1)}^{2} = 1

DrBoogie aktiv_icon

11:11 Uhr, 03.05.2015

"Die laxe Schreibweise bitte nicht übel nehmen"

Wenn die Ideen richtig wären, wäre die Schreibweise egal.
Aber wenn Du

n \to 0

schreibst. :-O
Wie kann denn

n \to 0

funktionieren?

n

sind natürliche Zahlen.

DrBoogie aktiv_icon

11:15 Uhr, 03.05.2015

Wenn Du

(a_{n})^{n}

hast mit

∣ a_{n} ∣ \geq 1.1

, dann gilt

∣ a_{n} ∣^{n} \geq 1 . 1^{n} \to \infty

, damit ist

a_{n}^{n}

divergent.

Im Deinem Fall gilt

∣ 1 + j \frac{n + 1}{2 n} ∣ = \sqrt{1 + \frac{(n + 1)^{2}}{4 n^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{(1 + \frac{1}{n})^{2}}{4}} \to \sqrt{1 + \frac{1}{4}} > 1.1

, daher

∣ 1 + j \frac{n + 1}{2 n} ∣ \geq 1.1

für alle genug große

n

Lexiii92 aktiv_icon

11:40 Uhr, 03.05.2015

Ich meines bei

1.2)

geht doch für

n \to 0

der Ausdruck gegen

1,

wie auch für

n \to \pm 00

geht es gegen 1? Wie soll ich denn argumentieren, außer so wie Respon es genialerweise argumentiert hat?

Ich verstehe nicht wie:

\sqrt{1 + \frac{{(n + 1)}^{2}}{4 n^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{{(1 + \frac{1}{n})}^{2}}{4}}

Wie geht denn das

n^{2}

im Nenner weg? Im Zähler wurde doch

n

ausgeklammert? Im Nenner fehlt dann doch ein

n

?

Ich kann noch nicht ganz den ganzen Sachverhalt verstehen.

Lexi

Respon

11:47 Uhr, 03.05.2015

Anmerkung zu

1.3

.
In der runden Klammer steht - jeweils in Abhängigkeit von

n -

eine komplexe Zahl.
Ist dir klar, warum bei diesem Beispiel der Betrag dieser komplexen Zahl eine wichtige Rolle spielt ?

Lexiii92 aktiv_icon

12:00 Uhr, 03.05.2015

" In der runden Klammer steht - jeweils in Abhängigkeit von n− eine komplexe Zahl.
Ist dir klar, warum bei diesem Beispiel der Betrag dieser komplexen Zahl eine wichtige Rolle spielt ?"

In der runden Klammern im Zähler?

Ich werde nicht herumreden, nein mir ist leider nicht klar wieso der Betrag dieser komplexen Zahl eine wichtige Rolle spielt.

Ich kenne den Betrag

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

einer komplexen Zahl.

Lexi

Respon

12:14 Uhr, 03.05.2015

Ich habe die ursprüngliche Angabe gemeint.

a_{n} := {(1 - j \cdot \frac{n + 1}{2 \cdot n})}^{2 \cdot n}

In der Klammer steht eine komplexe Zahl und läßt sich daher auch in der Form schreiben:

1 - j \cdot \frac{n + 1}{2 \cdot n} = | 1 - j \cdot \frac{n + 1}{2 \cdot n} | \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

φ

ist das Argument der komplexen Zahl und hier nicht wirklich von Bedeutung.
Also

{(1 - j \cdot \frac{n + 1}{2 \cdot n})}^{2 \cdot n} = {[| 1 - j \cdot \frac{n + 1}{2 \cdot n} | \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))]}^{2 \cdot n} = [{| 1 - j \cdot \frac{n + 1}{2 \cdot n} |}^{2 \cdot n} \cdot (cos (2 \cdot n \cdot φ) + i \cdot sin (2 \cdot n \cdot φ))]

cos

und sin sind beschränkt und nicht weiter interessant.
Der Betrag ist aber - siehe oben - jeweils ganz sicher

> 1

Zurückgreifen auf "gesichertes Wissen"

: lim_{n \to \infty} a^{n} \to \infty,

falls

a > 1

\Rightarrow

Der Betrag geht gegen

\infty \Rightarrow

Divergenz.

Lexiii92 aktiv_icon

12:29 Uhr, 03.05.2015

Ja die erste Lösung zur

1.2)

ist mir ersichtlich. Jetzt mit der anderen Form des Kosinus und Sinus, verstehe ich nicht was mir das bringen soll.

Wieso ist

\sqrt{1 + \frac{{(n + 1)}^{2}}{4 n^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{{(1 + \frac{1}{n})}^{2}}{4}}

Respon

12:39 Uhr, 03.05.2015

1.3

| 1 - j \cdot \frac{n + 1}{2 \cdot n} | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{n + 1}{2 \cdot n})}^{2}} = \sqrt{1 + {(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot n})}^{2}}

{(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot n})}^{2} > \frac{1}{2} \Rightarrow

Betrag sicher

> 1

Lexiii92 aktiv_icon

12:54 Uhr, 03.05.2015

Ich sitze davor wie vor einer Wand und ich finde dort nichts als weiße Farbe

: (

{(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 n})}^{2} > \frac{1}{2}

das ist mir noch halbwegs ersichtlich, aber was sagt mir das?

Ich wäre super dankbar wenn du mir den anderen Schritt erklären könntest, nachdem ich schon so lange bettele...

Respon

12:57 Uhr, 03.05.2015

Da der Betrag nun sicher

> 1

ist und wir den Betrag noch mit

2 \cdot n

potenzieren müssen, geht das Ganze sicher

\to \infty

D . h

. bei der Folge der komplexen Zahlen gehen die Beträge

\to \infty,

Divergenz.

Lexiii92 aktiv_icon

13:05 Uhr, 03.05.2015

Okay, ich glaube ich habe es verstanden.

:-D) :-D) :-D)

\sqrt{1 + \frac{{(n + 1)}^{2}}{4 n^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{{(1 + \frac{1}{n})}^{2}}{4}}

Wieso stimmt das? Ich muss mir bald eine Perücke kaufen, so viele Haare liegen auf meinem Schreibtisch

^^{^}^

Respon

13:20 Uhr, 03.05.2015

Also wenn du nur diese Umformung meinst:

\sqrt{1 + \frac{{(n + 1)}^{2}}{4 \cdot n^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} \cdot {(\frac{n + 1}{n})}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} \cdot {(1 + \frac{1}{n})}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{{(1 + \frac{1}{n})}^{2}}{4}}

Und da der zweite Summan immer

> \frac{1}{4}

ist, ist der ganze Betrag sicher

> 1

Lexiii92 aktiv_icon

13:33 Uhr, 03.05.2015

Ahso, deswegen, okay diese Magie der Mathematik verzaubert mich immer wieder auf's Neue.

Ich danke recht herzlich! Es ist wirklich was Tolles was Ihr leistet! Großes Lob!

Bis dann,

Lexi

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