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Konvergenz von Häufungswerten

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Häufungswert

MarcAnton aktiv_icon

02:27 Uhr, 21.11.2014

Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei folgendem helfen:

a)
Sei

(a_{n})_{n \in ℕ}

eine Folge in

ℝ

und sei ferner

(α_{k})_{k \in ℕ}

eine Folge in der Menge

H (a_{n})

der Häufungswerte von

(a_{n})_{n \in ℕ}

.
Zudem gebe es ein

α_{0} \in ℝ

mit

α_{k} \to α_{0}

für

k \to \infty .

Zeigen sie, dass dann auch

α_{0} \in H (a_{n})

gilt.

b) Zeigen sie, dass die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

genau dann gegen den Grenzwert

a \in ℝ

konvergiert , wenn jede Teilfolge

(a_{n_{k}})_{k \in ℕ}

von

(a_{n})_{n \in ℕ}

wiederum eine gegen

a

konvergente Teilfolge

(a_{n_{k_{j}}})_{j \in ℕ}

besitzt.

Nun habe ich a) so verstanden, dass im Grunde

α_{0}

ein Grenzwert der Häufungspunkte

α_{k}

ist... Nun muss ein Häufungspunkt meinem Verständnis nach nicht in der Folge liegen, dessen Häufungspunkt er ist.
Wären die Häufungspunkte von

α_{k}

definitiv in

α_{n}

, dann wäre

α_{0}

per Definition von

H (a_{n})

H (a_{n})

enthalten, da er auch ein Häufungspunkt von

α_{n}

wäre.
Ihr merkt ich bin verwirrt. Bin mir nicht ganz sicher wie ich das angehen soll.

b) Ist wiederum logisch. Wenn jeder Teil einer Teilfolge gegen ein a konvergiert, dann muss diese Teilfolge auch gegen a konvergieren. Und wenn die Teilfolgen der ursprünglichen Folge alle gegen das gleiche a konvergieren, dann muss nach dem gleichen Prinzip auch diese gegen a konvergieren. Schließlich kann man es aus den Teilen zusammensetzen.

Nur wie schreibe ich das schlüssig auf? Ich habe ein großes Problem mit solchen formalen Fragen... Ganz besonders diese dann entsprechend in ähnlicher Form zu beantworten.
Hoffe, dass sich der ein oder andere finden wird der evtl. mir ein wenig auf die Sprünge hilft. ^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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MatheAssNid aktiv_icon

03:10 Uhr, 21.11.2014

Also ich hab auch nicht viel Ahnung und sitze grade an der selben Aufgabe, aber bei

b)

hast du glaub ich ein Fehler in deinem Gedankengang. Nicht jede Teilfolge aller Teilfolgen konvergiert gegen a sondern immer nur eine (oder mind. 1?).
Somit sind deine weiteren Schritte ohne Grundlage.
Aber weiter bin ich auch nicht :-D)

MarcAnton aktiv_icon

03:22 Uhr, 21.11.2014

Ich bin mir da nicht sicher.Es muss immer nur EINE Teilfolge einer Teilfolge gegen a konvergieren... Dachte mir schon, dass da eventuell ein Fehler in meinem Gedankengang liegt.
Ein beliebiges

a_{n_{k_{j}}}

ist doch im Grunde auch ein

a_{n_{k}}

wenn wir Beides frei wählen können? Also kann man sagen, wenn jedes einzelne

a_{n_{k}}

ein

a_{n_{k_{j}}}

hat das gegen a konvergiert, dann muss doch jedes

a_{n_{k}}

gegen a konvergieren?

MatheAssNid aktiv_icon

03:35 Uhr, 21.11.2014

Bin ich mir nicht so sicher. Es wird ja nicht gesagt das jede Teilfolge (ank) von an konvergiert, sondern für jede Teilfolge (ank) gibt es wieder eine Teilfolge (ankj) die konvergiert. Klar sind das alles wieder Teilfolgen von an aber ich glaube nicht, dass das alle Teilfolgen von an sind. Oder man muss das irgendwie zeigen.

Aber bei der

a)

komm ich glaub grad weiter. Hab mal die den Beweis gefunden, der sagt, dass supr HW(an) und infi HW(n) immer gleich

max

HW(an) und

min

HW(an) sind wenn die Folge an beschränkt ist. Dass müsste man eigentlich leicht umformen so dass

a 0

anstatt supr HW(an) gewählt werden kann.

Sorry dass ich noch kein LaTex kann. Lern ich noch :-D)

Hoffe dir hilft das etwas

MarcAnton aktiv_icon

03:54 Uhr, 21.11.2014

Keine Sorge, ich habe LaTeX 5 Minuten bevor ich den Post verfasst hab kurz gegoogelt, ist echt nicht schwer. Kriegst du hin.

hm.

α_{k}

ist ja eine Folge. Entsprechend, wenn sie gegen

α_{0}

konvergiert, muss sie erstens monoton steigend sein und zweitens beschränkt mit

α_{0}

als Schranke.
Wir können also darauf schließen, dass

α_{0}

maximum von

α_{k}

ist, wenn das was du geschrieben hast stimmt, oder? Ah, Aber wir wissen nicht ob

a_{n}

beschränkt ist...... Ich geh kaputt.

Ich hoffe, dass sich vielleicht mal jemand mit etwas mehr Ahnung als wir meldet und uns zumindest sagt ob wir auf der richtigen Spur sind... Aber die Chancen stehen schlecht um die Uhrzeit. Hab mehr aus Verzweiflung geposted. Aber die Hoffnung stirbt bekanntermaßen ja zuletzt.

EDIT: Oh Gott, mir ist gerade etwas zur a) bewusst geworden... Was ist ein Häufungspunkt? Wikipedia hilft!:

"In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat. Ein Häufungspunkt einer Folge (seltener: „Verdichtungspunkt“ oder „Häufungswert“) ist ein Punkt, der Grenzwert einer Teilfolge ist."

Ja, wenn wir unendlich viele Häufungspunkte unendlich nahe neben

α_{0}

haben, dann haben wir auch unendlich viele Punkte aus

a_{n}

α_{0}

, was

α_{0}

auch zu einem Häufungspunkt macht. Entsprechend MUSS er in

H W (a_{n})

sein. Das muss man jetzt einfach nur noch mathematisch korrekt aufschreiben..

pwmeyer aktiv_icon

12:23 Uhr, 21.11.2014

Hallo,

um die Sache für Aufgabe

a)

klar zu lössen, schreib doch mal die Definition von

- Konvergenz
- Häufungspunkt

hier auf - so wie Ihr das in der Vorlesung gemacht habt.

Gruß pwm

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