Konvergenz von Kehrwerten

hi

ich sitze seit einer weile an folgender fragestellung und komme nicht weiter.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

a) Aus ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ --> + ${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ folgt ${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ = 1/${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ --> 0.

b) Aus ${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ --> 0, ${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ > 0, folgt ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ = 1/${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ --> ${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Kann mir da jemand einen Hinweis geben ?

MfG

ja haben wir:

Definition: Man sagt, die Folge (${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$)n${\displaystyle \ge }$0 konvergiert gegen den Grenzwert a ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und schreibt: ${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ = a oder ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ --> a

wenn es zu jeder beliebig kleinen Schranke ${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ > 0 einen Index ${\displaystyle {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ gibt, so
dass gilt:

${\displaystyle |{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|}$ < ${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ${\displaystyle \forall \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$

Man sagt, eine Folge (${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$) n${\displaystyle \ge }$0 divergiert gegen ${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$=${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wenn für alle K ${\displaystyle \in {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ ein ${\displaystyle {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ existiert, so dass ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}>\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ für alle ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$.

meinst du das ?