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Konvergenzbeweis verstehen

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Tags: Beweis, Konvergenz, Konvergenzbeweis, Mathematik, Mathematikstudium, mathestudium, Physik, Studium

 
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Elli-02

Elli-02 aktiv_icon

07:21 Uhr, 20.09.2022

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Hey,

Ich versuche gerade folgenden Konvergenzbeweis nachzuvollziehen aber ab den Fragezeichen, komme ich nicht mehr weiter. Ich verstehe nicht woher plötzlich 1N(ε) kommt. Oder was hat es mit dem Cauchy Kriterium auf sich? Wie kommt man con 1n-1m zu m-nn⋅m<mn⋅m? Und wie interpretiert man da generell das Ergebnis?


Ich denke , dass mein hauptsächlichen Problem ist, dass ich noch nicht verstanden habe , worauf wir hinarbeiten. Also ich weiß wir wollen die Konvergenz beweisen ( wenn eine vorhanden ist). Aber ab wann hab ich bewiesen, dass die Folge konvergiert? Weil wenn ich nicht verstehe, worauf wir hinauswollen und was das Ziel ist, komme ich nicht wirklich weit.


20220919_163953-min
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michaL

michaL aktiv_icon

08:17 Uhr, 20.09.2022

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Hallo,

hast du deine Formeln mal nachgesehen? Die sind nicht wiederzuerkennen!

Warum also gilt (interpretiere ich mal) ∣m-nmn∣<∣mmn∣?

Da die Nenner gleich sind, reicht es zu verstehen, warum ∣m-n∣<∣m∣ gilt. Dazu verwende, dass (0<)n<m Voraussetzung ist, also ∣m-n∣=m-n und ∣m∣=m.

Fällt der Groschen nun?

Desweiteren hast du ein Fragezeichen bei 1n<1N(ε) gemacht.

Dazu muss man wissen, dass zuvor (also vor dem Doppelpunkt) n>N(ε) steht. Da (vermutlich) n,N(ε)>0 gilt, sind beide Ungleichungen äquivalent. Um das einzusehen, teile sowohl durch n, als auch durch N(ε) in n>N(ε). Dann gelangst du zu 1n<1N(ε).

> Ich denke , dass mein hauptsächlichen Problem ist, dass ich noch nicht verstanden habe , worauf wir hinarbeiten. Also ich weiß
> wir wollen die Konvergenz beweisen ( wenn eine vorhanden ist). Aber ab wann hab ich bewiesen, dass die Folge konvergiert?
> Weil wenn ich nicht verstehe, worauf wir hinauswollen und was das Ziel ist, komme ich nicht wirklich weit.

Auf der ganzen Seite wird mit unterschiedlichen Kriterien die Konvergenz der harmonischen Folge (1n)n∈ℕ* untersucht.

Wenn es in 1. gelingt zu beweisen, dass die Folge monoton (fallend) und (nach unten) beschränkt ist, dann ist damit die Konvergenz gemäß Bolzano-Weierstraß bewiesen.
Das kommt daher, dass ihr einen (allgemein akzeptierten) Beweis in der Vorlesung für dieses Konvergenzkriterium hattet.
Da viele Folgen nicht monoton sind, ist dies ein sehr spezielles Kriterium!
In 2. untersucht ihr offenbar dasjenige Kriterium, das für viele als Definition konvergenter Folgen herhält. Dazu muss man den mutmaßlichen Grenzwert schon kennen bzw. vermuten.
Dann genügt es, wenn man zu jedem ε>0 ein N(ε)∈ℕ* angeben kann, sodass ∣an-a∣<ε für alle n>N(ε) gilt.
Dass ein solches N(ε) angegeben werden kann, wird anhand des Beispiels ε=0,001 noch verdeutlicht.

In 3. wird nun noch das Cauchy-Kriterium auf dieses Beispiel angewendet.

Sobald man die Voraussetzungen für das Cauchy-Kriterium nachgewiesen hat, ist die Konvergenz durch dieses Kriterium bewiesen. Das Cauchy-Kriterium ist ein Satz, der stark verkürzt so lautet: Sind für eine Folge (an)n∈ℕ* die Voraussetzungen zur Anwendbarkeit des Cauchy-Kriteriums erfüllt (welche das sind, siehe Vorlesung oder Literatur), so ist (an)n∈ℕ* konvergent.

Und genau das passiert: Man weist nach, dass die Kriterien erfüllt sind und ist mit der Arbeit fertig.

Mfg Michael
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