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Konvergenzordnung bestimmen; Eindeutigkeit
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Beispiel, Beweis, Eindeutigkeit, Folgen und Reihen, Konvergenzordnung, Konvergenzordnung bestimmen
 
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Hallo zusammen, ich komme einfach nicht bei folgenden beiden Aufgaben zur Konvergenzordnung weiter. Folgende Definitionen/Behauptungen habe ich zur Verfügung: für n0 ist eine Folge in einem normierten Raum (X, || . ||), die gegen den Grenzwert x konvergiert. p - Konvergenzordnung, q - Konvergenzfaktor Definition der Konvergenzordnung: Eindeutigkeit der Konvergenzordnung: 1) Es soll gezeigt werden, dass gilt, also ausgehend von den beiden obigen Ausdrücken für die Eindeutigkeit der Konvergenzordnung muss man wohl umstellen und gegen 0 gehen lassen... Habe schon Umformulierungen bzw. Umstellungen der Gleichungen gesucht, die mich weiter bringen. Aber jedes Mal macht mir der ln Probleme mit nicht definierten Ausdrücken, egal in welchem Schritt ich versuche, ihn in die Gleichungen einzubauen. 2) Die Konvergenzordnung und der Konvergenzfaktor folgender Folge soll bestimmt werden: für p > 1. Der Grenzwert der Folge ist ja 1, ich kann also alles nötige in die Definition der Konvergenzordnung einsetzen. Ab da hakt's. Angeblich soll es mit "L'Hôpital" gehen, aber wenn ich das probiere, muss ich am Ende immer p-mal den Nenner ableiten. Kann das stimmen? Ich hatte gehofft, irgendwie verschwindet beim Grenzwert-Rechnen dann entweder p oder q, sodass ich für eine der beiden Variablen einen eindeutigen Wert bekomme... Sonst habe ich diverse Ansätze mit Umschreiben, lim-Rechenregeln, L'Hôpital etc. versucht, aber alle meine Ideen werden früher oder später von einem unbestimmten Grenzwert oder von p durchkreuzt... Mal über die Aufgaben zu schlafen hat auch nix genützt und was neues fällt mir nicht mehr ein. Deshalb wäre ich echt dankbar für einen zielführenden Ansatz...Hat jemand eine Idee? Vielen Dank schon mal und viele Grüße! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hallo Fliege, zu 2): sind wir uns darin einig, dass du z.B. mit l'Hospital den folgenden Limes bestimmen könntest? Gruß ermanus |
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Danke. Wenn ich jetzt keinen Fehler gemacht habe, dann kommt bei dem Grenzwert 1 raus. Das sieht ja aus wie die Formel, die ich in 1) beweisen will. Demnach könnte dann 1 die Konvergenzordnung der Folge in 2 sein. Damit könnte ich jetzt ja relativ leicht über die Definition q bestimmen, was dann auch 1 wäre. Das passt zumindest zu dem Verdacht, der mich nach meinen ganzen ergebnislosen Rechnereien beschlichen hat... Aber wenn das wirklich so stimmt, habe ich jetzt ein gröberes Verständnisproblem was die Formel in 1) und ihre Gültigkeit angeht: Hierzu zunächst der Originalwortlaut der Aufgabe: "Zeige, dass p= lim n→∞ (ln(∣∣xn+1-x∣∣)/(ln(∣∣xn-x∣∣) (*). Gilt auch die Umkehrung, d.h. folgt aus * immer, dass p die Konvergenzordnung der Folge ist?" Für schnell konvergierende Folgen spuckt die Formel wohl nicht mehr die Konvergenzordnung aus... an einem Gegenbeispiel arbeite ich noch... Wieso darf man dann die Formel für diese Berechnung in 2) verwenden? Ich scheitere an der Implikation... Umformuliert würde die Aufgabenstellung doch bedeuten: p ist die Konvergenzordnung der Folge xn => p= lim n→∞ (ln(∣∣xn+1-x∣∣)/(ln(∣∣xn-x∣∣), aber nicht p= lim n→∞ (ln(∣∣xn+1-x∣∣)/(ln(∣∣xn-x∣∣) => p ist die Konvergenzordnung der Folge xn. Oder stimmt das nicht? Ich habe irgendwie vom oben beschriebenen Rechenweg zur 2) her eher den Eindruck, dass ich jetzt über diese nicht zutreffende Implikation gegangen bin. Aber sicher bin ich mir da nicht. Weil ich ja vorher fest setze: p sei die Konvergenzordnung, dann gilt p = lim... = 1. Vielen Dank schon mal! |
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Hallo, ich kann deinem "Problem" nicht ganz folgen. Der Satz " sei die Konvergenzordnung, dann gilt " ist gleichbedeutend mit "für die Konvergenzordnung gilt . Wenn also eine Folge eine Konvergenzordnung besitzt, dann kann es nur sein. Wenn endlich ist, dürfte hier eigentlich kein Problem stecken. Lasse mich aber gerne eines besseren belehren ;-) Gruß ermanus |
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Ok, danke. Das reicht schon. Ich glaube, mir dämmert mein Problem. Für endliche Konvergenzordnungen stimmt es. Versagen tut das ganze, wenn der limes nicht existiert, d.h. wenn die "Konvergenzordnung" unendlich groß wird. Dann müsste die Folge auch wirklich extrem schnell konvergieren. D.h. xn+1 - x ist sehr viel kleiner als xn-x. Dadurch geht der ln von xn+1 - x gegen minus unendlich, aber der ln von xn - x kommt nicht hinterher. Dadurch wird der limes dieser Gleichung auch minus unendlich. Jetzt muss ich mir nur noch so eine krasse Folge überlegen XD. Das ist dann das Gegenbeispiel, das für die umgekehrte Richtung des Beweises der Formel in 1) verlangt wird... Hättest Du noch einen Tipp für den Beweis von 1)? Wenn nicht, trotzdem vielen Dank. Die Diskussion hat mich auf jeden Fall im Verständnis dieser Formel weiter gebracht :-)! |
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Leider habe ich bei 1) keine gute Kompetenz. Leider :( Gruß ermanus |
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Dann probier ich selber weiter, bis mir graue Haare wachsen :-). Trotzdem vielen Dank, hat mir echt geholfen! |
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