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Konvergenzradius berechnen

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Folgen und Reihen

Grenzwerte

Komplexe Analysis

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Komplexe Analysis

memam aktiv_icon

19:11 Uhr, 06.06.2017

Hallo.
Ich hänge gerade bei einer Aufgabe und bräuchte eure Hilfe: Zu berechnen ist der Konvergenzradius.

\sum_{n = 4}^{\infty} {(\sqrt{3} + i^{n})}^{n} \cdot {(\frac{z - 2}{1 + i})}^{n}

Also mein Ansatz war:

\sum_{n = 4}^{\infty} {(\sqrt{3} + i^{n})}^{n} \cdot {(\frac{1}{1 + i})}^{n} \cdot {(z - 2)}^{n}

. Hier kann man dann den Entwicklungspunkt ablesen

x_{0} = 2

Mein

a_{n}

ist also

{(\sqrt{3} + i^{n})}^{n} \cdot {(\frac{1}{1 + i})}^{n}

.

Dann wollte ich anhand des Quotientenkriteriums den Konvergenzradius bestimmen:

\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} \to

\frac{| {(\sqrt{3} + i^{n + 1})}^{n + 1} \cdot {(\frac{1}{1 + i})}^{n + 1} |}{| {(\sqrt{3} + i^{n})}^{n} \cdot {(\frac{1}{1 + i})}^{n} |}

Also man könnte ja

{(1 + i)}^{n}

kürzen, dann steht da nur noch

| {(\sqrt{3} + i^{n + 1})}^{n + 1} \cdot (\frac{1}{1 + i}) | \cdot | \frac{1}{{(\sqrt{3} + i^{n})}^{n}} |

Dann noch bisschen umgeschrieben sieht das so aus

| \frac{{(\sqrt{3} + i^{n + 1})}^{n + 1}}{1 + i}) | \cdot | \frac{1}{{(\sqrt{3} + i^{n})}^{n}} |

Stimmt das bis dahin und wie geht es weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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pwmeyer aktiv_icon

10:13 Uhr, 07.06.2017

Hallo,

versuchs mal mit dem Quotientenkriterium bzw. der Formel von Cauchy-Hadamard.

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

10:54 Uhr, 07.06.2017

Korrektur, meinte Wurzelkriterium

memam aktiv_icon

23:13 Uhr, 08.06.2017

Ich habe doch die Quotientenregel angewendet,Aber ich bräuchte Hilfe bei der Vereinfachung.

pwmeyer aktiv_icon

10:50 Uhr, 09.06.2017

Hallo,

"anhand des Quotientenkriteriums den Konvergenzradius "

Ich bin mir nicht sicher, was Du hier genau unter dem Quotientenkriterium bei Potenzreihen verstehst.

Nochmals: Ich würde es mit dem Wurzelkriterium bzw. der Formel von Cauchy-Hadamard versuchen.

Auf jeden Fall wirst Du woh (wenn nicht jemand eine bessere Idee hat) Fallunterscheidungen bezüglich

n

machen müssen, um das

i^{n}

bearbeiten zu können.

Gruß pwm

memam aktiv_icon

00:46 Uhr, 10.06.2017

Danke für ihre Antwort. Also ich hab das mal mit der Cauchy- Hadamard Formel, wie sie es gesagt haben probiert.

\frac{1}{\frac{lim_{k \to \infty} (\sqrt[k]{| {\sqrt{3}}^{k} |}) + lim_{k \to \infty} (\sqrt[k]{| i^{k^{2}} |})}{lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{| {(1 + i)}^{k} |}}}

.

Also für

((lim_{k \to \infty} (\sqrt[k]{| {\sqrt{3}}^{k} |})

kommt doch

\sqrt{3}

heraus.
Wie gehe ich weiter?

pwmeyer aktiv_icon

10:19 Uhr, 10.06.2017

Hallo,

zunächst einmal steht in der CH-Formel zunächst nicht Limes sonder Limes-superior.

Dann scheinst Du bei Deiner Umformung die "Formel"

{(a + b)}^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{n}} + b^{\frac{1}{n}},

das ist falsch (Korrigier mich, wenn ich das falsch verstanden habe=.

Also: Wir haben

a_{n} = \frac{{(\sqrt{3} + i^{n})}^{n}}{{(1 + i)}^{n}}

Was ist dann

{(| a_{n} |)}^{\frac{1}{n}}

memam aktiv_icon

17:11 Uhr, 10.06.2017

man erhält dann für

(| a_{n}) |^{\frac{1}{n}}

Da kommt dann

| \frac{\sqrt{3} + i^{n}}{1 + i} |

. Also jetzt muss ich den Betrag ziehen,

d . h \sqrt{}

(Re^2+Im^2)

\sqrt{(\frac{{\sqrt{3}}^{2} + {(i^{n})}^{2}}{{(1 + i)}^{2}})}

. Jetzt die Fallunterscheidung:
Wenn

k

gerade ist, ist

i^{n} = (- 1)

und durch die

^2 \in {(i^{n})}^{2} = 1

Wenn

k

ungerade, ist

i^{n}

trotzdem durch die

^2

wieder

{(i^{n})}^{2} = 1

Also kommt da raus :

\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} < - a

Und dann noch

\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + 1}

Stimmt das so?

ledum aktiv_icon

22:09 Uhr, 10.06.2017

Hallo du hast den Betrag des Zählers falsch ausgerechnet. Re^2+Im^2 enthält kein

i

für manche

n

ist

\sqrt{3} + i^{n}

rein reell etwa für

n = 2

hat du

\sqrt{3} - 1

für

n = 4 \sqrt{3} + 1

i^{n}

hat Werte

i, - 1, - i, 1!

Gruß ledum

memam aktiv_icon

21:09 Uhr, 14.06.2017

Wie meinen Sie das jetzt?
Wenn ich jetzt im zähler habe

| \sqrt{3} + i^{n} |

wie wende ich den Betrag bei

i^{n}

an. Ist das auch einfach dann

1,

was ist mit dem hoch n?

abakus

21:53 Uhr, 14.06.2017

Ganz konkret:
Was ist

i^{1}

, was ist

i^{2}

, was ist

i^{3}

, und was ist

i^{4}

memam aktiv_icon

00:46 Uhr, 15.06.2017

i^{1} = i

i^{2} = - 1

i^{3} = - i

i^{4} = 1

i^{5} = i

....(ab

i^{5}

beginnt es wieder von vorne)
Aber wie mach ich das mit dem Betrag jetzt, wenn dauernd was anderes für

i^{n}

rauskommt?

pwmeyer aktiv_icon

08:35 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

also wir sind soweit:

q_{n} := {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}} = | \frac{\sqrt{3} + i^{n}}{1 + i} | = \frac{| \sqrt{3} + i^{n} |}{\sqrt{2}}

Jetzt musst Du eine Fallunterscheidung machen: Es ist

n = 4 \cdot k + r

mit

r = 0,1,2,3

(Division durch 4 mit Rest). Der Wert von

q_{n}

hängt dabei von

r

ab, weil

i^{n} = i^{4 \cdot k + r} = i^{4 \cdot k} \cdot i^{r} = i^{r}

.

Also ist

({| a_{n} |}^{\frac{1}{n}})

eine Folge mit 4 Häufungspunkten - und das ist der "Pfiff" an der Aufgabe.

Gruß pwm

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