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Konvergenzradius berechnen

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Folgen und Reihen

Grenzwerte

Komplexe Analysis

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Komplexe Analysis

memam aktiv_icon

19:11 Uhr, 06.06.2017

Hallo.
Ich hänge gerade bei einer Aufgabe und bräuchte eure Hilfe: Zu berechnen ist der Konvergenzradius.

$\sum_{n = 4}^{\infty} {(\sqrt{3} + i^{n})}^{n} \cdot {(\frac{z - 2}{1 + i})}^{n}$

Also mein Ansatz war:
$\sum_{n = 4}^{\infty} {(\sqrt{3} + i^{n})}^{n} \cdot {(\frac{1}{1 + i})}^{n} \cdot {(z - 2)}^{n}$ . Hier kann man dann den Entwicklungspunkt ablesen $x_{0} = 2$
Mein $a_{n}$ ist also ${(\sqrt{3} + i^{n})}^{n} \cdot {(\frac{1}{1 + i})}^{n}$ .

Dann wollte ich anhand des Quotientenkriteriums den Konvergenzradius bestimmen:

$\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} \to$
$\frac{| {(\sqrt{3} + i^{n + 1})}^{n + 1} \cdot {(\frac{1}{1 + i})}^{n + 1} |}{| {(\sqrt{3} + i^{n})}^{n} \cdot {(\frac{1}{1 + i})}^{n} |}$

Also man könnte ja ${(1 + i)}^{n}$ kürzen, dann steht da nur noch

$| {(\sqrt{3} + i^{n + 1})}^{n + 1} \cdot (\frac{1}{1 + i}) | \cdot | \frac{1}{{(\sqrt{3} + i^{n})}^{n}} |$
Dann noch bisschen umgeschrieben sieht das so aus

$| \frac{{(\sqrt{3} + i^{n + 1})}^{n + 1}}{1 + i}) | \cdot | \frac{1}{{(\sqrt{3} + i^{n})}^{n}} |$

Stimmt das bis dahin und wie geht es weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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pwmeyer aktiv_icon

10:13 Uhr, 07.06.2017

Hallo,

versuchs mal mit dem Quotientenkriterium bzw. der Formel von Cauchy-Hadamard.

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

10:54 Uhr, 07.06.2017

Korrektur, meinte Wurzelkriterium

memam aktiv_icon

23:13 Uhr, 08.06.2017

Ich habe doch die Quotientenregel angewendet,Aber ich bräuchte Hilfe bei der Vereinfachung.

pwmeyer aktiv_icon

10:50 Uhr, 09.06.2017

Hallo,

"anhand des Quotientenkriteriums den Konvergenzradius "

Ich bin mir nicht sicher, was Du hier genau unter dem Quotientenkriterium bei Potenzreihen verstehst.

Nochmals: Ich würde es mit dem Wurzelkriterium bzw. der Formel von Cauchy-Hadamard versuchen.

Auf jeden Fall wirst Du woh (wenn nicht jemand eine bessere Idee hat) Fallunterscheidungen bezüglich $n$ machen müssen, um das $i^{n}$ bearbeiten zu können.

Gruß pwm

memam aktiv_icon

00:46 Uhr, 10.06.2017

Danke für ihre Antwort. Also ich hab das mal mit der Cauchy- Hadamard Formel, wie sie es gesagt haben probiert.

$\frac{1}{\frac{lim_{k \to \infty} (\sqrt[k]{| {\sqrt{3}}^{k} |}) + lim_{k \to \infty} (\sqrt[k]{| i^{k^{2}} |})}{lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{| {(1 + i)}^{k} |}}}$ .

Also für $((lim_{k \to \infty} (\sqrt[k]{| {\sqrt{3}}^{k} |})$ kommt doch $\sqrt{3}$ heraus.
Wie gehe ich weiter?

pwmeyer aktiv_icon

10:19 Uhr, 10.06.2017

Hallo,

zunächst einmal steht in der CH-Formel zunächst nicht Limes sonder Limes-superior.

Dann scheinst Du bei Deiner Umformung die "Formel" ${(a + b)}^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{n}} + b^{\frac{1}{n}},$ das ist falsch (Korrigier mich, wenn ich das falsch verstanden habe=.

Also: Wir haben $a_{n} = \frac{{(\sqrt{3} + i^{n})}^{n}}{{(1 + i)}^{n}}$
Was ist dann ${(| a_{n} |)}^{\frac{1}{n}}$ ?

memam aktiv_icon

17:11 Uhr, 10.06.2017

man erhält dann für $(| a_{n}) |^{\frac{1}{n}}$

Da kommt dann $| \frac{\sqrt{3} + i^{n}}{1 + i} |$ . Also jetzt muss ich den Betrag ziehen, $d . h \sqrt{}$ (Re^2+Im^2)

$\sqrt{(\frac{{\sqrt{3}}^{2} + {(i^{n})}^{2}}{{(1 + i)}^{2}})}$ . Jetzt die Fallunterscheidung:
Wenn $k$ gerade ist, ist $i^{n} = (- 1)$ und durch die $^2 \in {(i^{n})}^{2} = 1$
Wenn $k$ ungerade, ist $i^{n}$ trotzdem durch die $^2$ wieder ${(i^{n})}^{2} = 1$

Also kommt da raus :
$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} < - a$
Und dann noch $\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + 1}$

Stimmt das so?

ledum aktiv_icon

22:09 Uhr, 10.06.2017

Hallo du hast den Betrag des Zählers falsch ausgerechnet. Re^2+Im^2 enthält kein $i$
für manche $n$ ist $\sqrt{3} + i^{n}$ rein reell etwa für $n = 2$ hat du $\sqrt{3} - 1$ für $n = 4 \sqrt{3} + 1$ . $i^{n}$ hat Werte $i, - 1, - i, 1!$
Gruß ledum

memam aktiv_icon

21:09 Uhr, 14.06.2017

Wie meinen Sie das jetzt?
Wenn ich jetzt im zähler habe $| \sqrt{3} + i^{n} |$ wie wende ich den Betrag bei $i^{n}$ an. Ist das auch einfach dann $1,$ was ist mit dem hoch n?

abakus

21:53 Uhr, 14.06.2017

Ganz konkret:
Was ist $i^{1}$ , was ist $i^{2}$ , was ist $i^{3}$ , und was ist $i^{4}$ ?

memam aktiv_icon

00:46 Uhr, 15.06.2017

$i^{1} = i$
$i^{2} = - 1$
$i^{3} = - i$
$i^{4} = 1$
$i^{5} = i$ ....(ab $i^{5}$ beginnt es wieder von vorne)
Aber wie mach ich das mit dem Betrag jetzt, wenn dauernd was anderes für $i^{n}$ rauskommt?

pwmeyer aktiv_icon

08:35 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

also wir sind soweit:

$q_{n} := {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}} = | \frac{\sqrt{3} + i^{n}}{1 + i} | = \frac{| \sqrt{3} + i^{n} |}{\sqrt{2}}$

Jetzt musst Du eine Fallunterscheidung machen: Es ist $n = 4 \cdot k + r$ mit $r = 0,1,2,3$ (Division durch 4 mit Rest). Der Wert von $q_{n}$ hängt dabei von $r$ ab, weil

$i^{n} = i^{4 \cdot k + r} = i^{4 \cdot k} \cdot i^{r} = i^{r}$ .

Also ist $({| a_{n} |}^{\frac{1}{n}})$ eine Folge mit 4 Häufungspunkten - und das ist der "Pfiff" an der Aufgabe.

Gruß pwm

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