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Konvergenzradius bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenzradius

Ersti2016 aktiv_icon

19:14 Uhr, 28.11.2016

Hallo zusammen,
meine Aufagabe lautet: Bestimmen Sie den Konvergenzradius und damit das Intervall I, in dem die folgende Reihe konvergiert:

s (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {(- 1)}^{k + 1} \cdot \frac{x^{k}}{k^{2} \cdot 2^{k}}

Ist I offen, halboffen oder abgeschlossen?

Meine bisherigen Überlegungen sind noch recht dünne, aber ich dachte mir dass mein Koeffizien

c = {(- 1)}^{k + 1}

und der Entwicklungspunkt

x 0 = 0

ist.

Vielen dank schon mal im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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19:19 Uhr, 28.11.2016

"aber ich dachte mir dass mein Koeffizien

c = (- 1)^{k + 1}

"

Nein.

c_{k} = \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{2} 2^{k}}

"und der Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

ist."

Das ist richtig.

Und jetzt einfach die Formel für Radius anwenden.

Ersti2016 aktiv_icon

20:45 Uhr, 28.11.2016

Okay dankeschön, ich habe jetzt als Konvergenzradius 2 raus.

Wie kann ich nun ermitteln ob das Intervall

(- 2,2)

offen/geschlossen/halboffen ist?

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21:33 Uhr, 28.11.2016

x = - 2

bzw.

x = 2

setzen und die entsprechenden Reihen untersuchen

Ersti2016 aktiv_icon

21:46 Uhr, 28.11.2016

Ich habe jetzt das Leibniz-Kriterium genommen und für

x = 2

als an

= k^{2}

bestimmt, wodurch sich divergenz

(+ \infty)

ergibt.
Für

x = - 2

und daher an

= - k^{2}

divergenz gegen

- \infty

.

Dann habe ich als Intervall

] - 2,2 [,

also ein offenes Intervall richtig?

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21:49 Uhr, 28.11.2016

Hallo,

k^{2}

ist im Nenner!

Ersti2016 aktiv_icon

21:54 Uhr, 28.11.2016

ich dachte bei

\frac{2^{k}}{k^{2} \cdot 2^{k}}

lassen sich die

2^{k}

im Nenner und Zähler kürzen und es bleibt

k^{2},

und da dies keine Nullfolge ist lässt sich die divergenz zeigen.

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22:02 Uhr, 28.11.2016

Wenn man

\frac{2^{k}}{k^{2} 2^{k}}

kürzt, bleibt

\frac{1}{k^{2}}

.
Mein Gott!

Ersti2016 aktiv_icon

22:12 Uhr, 28.11.2016

okay dann habe ich einmal

\frac{1}{k^{2}}

und

- \frac{1}{k^{2}}

welche gegen Null konvergieren. Somit ein offenes Intervall? Sorry, hieß offen dass es beidseitig weiter konvergent ist oder umgekehrt?

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22:19 Uhr, 28.11.2016

Dass die Folgen gegen Null konvergieren, ist an der Stelle irrelevant.
Du brauchst Konvergenz der Reihen.

Ersti2016 aktiv_icon

22:31 Uhr, 28.11.2016

wie bestimme ich dann die konvergenz der reihe? komme grade nicht drauf

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23:01 Uhr, 28.11.2016

Weißt Du nicht, dass die Reihe

\sum \frac{1}{k^{2}}

konvergent ist?

DrBoogie aktiv_icon

23:11 Uhr, 28.11.2016

Hier hast Du kompakt alles was Du über die Reihen wissen musst. :-)
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Konvergenz_und_Divergenz_einer_Reihe_beweisen:_Konvergenzkriterien

Ersti2016 aktiv_icon

17:21 Uhr, 29.11.2016

Also ich weiß die Reihe ist für

x = 2

konvergent und für

x = - 2 \to (\sum_{k = 1}^{\infty} - \frac{1}{k^{2}})

auch konvergent. (Hoffe das stimmt jetz so :-P)) Ich brächte nur noch eine kleine Hilfestellung wie ich das mit dem offen, geschlossenen bzw. halboffenen Intervall zu interpretieren habe, also für welche Fälle ich angebe dass es offen, etc. ist.
Danke für den überaus hilfreichen Link und die Hilfe bisher

DrBoogie aktiv_icon

17:34 Uhr, 29.11.2016

Da die Reihe in beiden Punkten

- 2

und

2

konvergiert, konvergiert sie in dem geschlossenen Intervall

[- 2, 2]

Ersti2016 aktiv_icon

17:36 Uhr, 29.11.2016

Alles klar, vielend dank für die Mühe

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