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Konvergenzradius einer Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

Lara-2105 aktiv_icon

20:30 Uhr, 23.09.2023

Guten Abend liebes Forum,
vielleicht kann mir weitergeholfen werden.
Leider komme ich auf den Konvergenzradius=0, Wolfram Alpha liefert mir Radius 3.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

michaL aktiv_icon

21:02 Uhr, 23.09.2023

Hallo,

zeige doch mal deine Rechnung.

Mfg Michael

Lara-2105 aktiv_icon

21:09 Uhr, 23.09.2023

Schönen guten Abend :-)

calc007

21:16 Uhr, 23.09.2023

Auch wenn's formal nicht sehr vorbildlich ausgeschrieben steht,
so ist doch gut erkennbar und löblich (zielführend) das Wurzelkriterium zu nutzen.

Weniger gut dagegen dein Schluss von der vorletzten zur letzten Zeile.
Wie kommst du von
unendlich

\cdot

Null
zum Schluss, das sei Null?

Lara-2105 aktiv_icon

21:28 Uhr, 23.09.2023

Ich stehe ein wenig auf dem Schlauch. Habe gedacht, dass unendlich*0 zu unendlich führt

LG

michaL aktiv_icon

21:38 Uhr, 23.09.2023

Hallo,

ok, sei

a_{n} := \frac{{(\sqrt{n^{2} + 6 n} - \sqrt{n^{2} - 1})}^{n}}{n^{2} \cdot 9^{n}}

.

Dann gilt:

\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{\sqrt{n^{2} + 6 n} - \sqrt{n^{2} - 1}}{9 \cdot {(\sqrt[n]{n})}^{2}} = \frac{\sqrt{n^{2} + 6 n} - \sqrt{n^{2} - 1}}{9 \cdot {(\sqrt[n]{n})}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + 6 n} + \sqrt{n^{2} - 1}}{\sqrt{n^{2} + 6 n} + \sqrt{n^{2} - 1}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{(\sqrt[n]{n})^{2}} \cdot \frac{n^{2} + 6 n - (n^{2} - 1)}{\sqrt{n^{2} + 6 n} + \sqrt{n^{2} - 1}}

= \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{(\sqrt[n]{n})^{2}} \cdot \frac{6 n - 1}{\sqrt{n^{2} + 6 n} + \sqrt{n^{2} - 1}}

lim_{n \to \infty} = \frac{1}{9} \cdot 1 \cdot \frac{6}{2} = \frac{1}{3}

Eigentlich geht es ja um dem Limes superior. Da die Folge aber konvergiert, gibt es ohnehin nur einen Häufungspunkt.
Darf man davon ausgehen, dass

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

gilt?

Mfg Michael

EDIT: Wegen

0 \cdot \infty

:

Betrachte

lim_{n \to \infty} \frac{k}{n} \cdot n

für beliebiges

k \in ℝ

oder

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \cdot n

oder

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n^{2}

calc007

21:45 Uhr, 23.09.2023

"Habe gedacht, dass unendlich*0 zu unendlich führt"
Oh je, oh je, der Schüler-hafte Fall
unendlich*Null
ist doch das klassische Schulbeispiel,
von dem du nicht augenscheinlich wissen kannst, wohin das führt,
und per Grenzwertermittlung eben ohne vorschnelle Kurzschlüsse untersuchen musst.

Mach einfach anhand der Beispiele klar, dass
'unendlich*Null'
eben zu

Beispiel

a)

lim_{k \to \infty} [k] \cdot [\frac{1}{k^{2}}] = lim \frac{1}{k} = 0

führen kann.

Beispiel

b)

lim_{k \to \infty} [k] \cdot [\frac{1}{k}] = lim 1 = 1

zu einem festen (nicht-verschwindenden) Grenzwert führen kann.

Beispiel

c)

lim_{k \to \infty} [k^{2}] \cdot [\frac{1}{k}] = lim k \to

Unendlich
zu divergent über alle Grenzen wachsenden Zuständen führen kann.

Um deine Aufgabe mal ein bisschen in die Wege zu leiten, biete ich an:

Wurzelkriterium:

WK=

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = lim \sqrt[n]{\frac{{(\sqrt{n^{2} + 6 \cdot n} - \sqrt{n^{2} + 1})}^{n}}{n^{2} \cdot 3^{2 \cdot n}} \cdot x^{n}}

= lim \sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}} \cdot lim \frac{(\sqrt{n^{2} + 6 \cdot n} - \sqrt{n^{2} + 1})}{3^{2}} \cdot x

= lim \sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}} \cdot \frac{1}{9} \cdot lim (\sqrt{n^{2} + 6 \cdot n} - \sqrt{n^{2} + 1}) \cdot lim x

= . .

.

Willst du mal weiter machen?

Tipp noch: vielleicht hilft die dritte binomische...

@MichaL
(das war ja wirklich fast Gedankenübertragung)

Lara-2105 aktiv_icon

21:58 Uhr, 23.09.2023

Vielen Dank für eure Hilfe!
Verzeiht mir, dass ich nicht geübt bin in diesem Thema. Wir haben dieses relativ frisch angeschnitten.

Einen wunderschönen Abend! :-)

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