Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Konvergenzradius einer alternierenden Potenzreihe

Konvergenzradius einer alternierenden Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Folgen und Reihen

Funktionalanalysis

Funktionenfolgen

Funktionenreihen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Folgen und Reihen, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert, Konvergenzradius, Potenzreihe, Sonstig, Stetigkeit

matze195 aktiv_icon

15:50 Uhr, 30.06.2018

Einen schönen Nachmittag euch allen.

Ich überlege seit ein paar Stunden für eine Aufgabe, aber ich komme bei einem Teil der Aufgabe einfach nicht weiter.
Es geht um folgende.

Aufgabe

__{_}__{_}_

Bestimmen Sie den Konvergenzradius

r

der Potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot t^{2 n}

.
Zeigen Sie dann für alle

x \in ℝ

mit

| x | < r

die Gleichheit:

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot x^{2 n} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Mein Ansatz

__{_}__{_}__{_}__{_}_

Berechnung des Konvergenzradius mit Cauchy-Hadamard:

r = \frac{1}{lim_{n_{>} \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |}} = \frac{1}{lim_{n_{>} \infty} \sqrt[n]{| {(- 1)}^{n} |}} = \frac{1}{lim_{n_{>} \infty} \sqrt[n]{1}} = \frac{1}{lim_{n_{>} \infty} 1} = \frac{1}{1} = 1

Konvergenzintervall I

:= (x_{0} - r, x_{0} + r) = (0 - 1, 0 + 1) = (- 1,1)

Somit ist der Konvergenzradius

- 1 < t < 1

Mein Problem liegt aber nun darin, die Gleicheit zu beweisen. Ich habe mir überlegt, dies durch die geometrische Reihe zu zeigen, weil die Struktur ja sehr ähnlich ist. Ich habe aber ein Problem damit, die

{(- 1)}^{n}

zu entfernen oder mit ihr zu arbeiten...

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Ich wäre sehr dankbar dafür.

Liebe Grüße
Moritz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung