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Koordinatentransformation, Y-Achse dreht um 45°

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angewandte lineare Algebra

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Basissystem, Komponenten, Koordinatentransformation, Linear Abbildung, Mechanik, Polarkoordinaten, schiefwinklig, Vektor, Vektoralgebra, Vektorraum, Winkel, zweidimensional

sakamoto aktiv_icon

12:39 Uhr, 12.10.2016

Ich soll in einer Mechanikübung bezüglich eines schiefwinkligen Koordinatensystems, mit neuen Basisvektoren die Komponenten meiner gegebenen Vektoren berechnen. Sprich aus Vektor a wird Vektor a'.Gegeben ist mir ein zweidimensionales Koordinatensystem mit einer

x -

und einer y-Achse.
Die X-Achse hat sich nicht verschoben, die y-Achse hat sich um 45° im ersten Quadranten geneigt.

Jetzt habe ich die unterschiedlichsten Vektoren gegeben:

{(0; - 3)}^{T}; {(- 2; 0)}^{T}; {(- \sqrt{2}; \sqrt{2})}^{T}

etc.
Nun muss ich sicherlich Polarkoordinaten anwenden. Nun habe ich mir die Formeln hier rausgesucht:

x' = x \cdot cos (γ) + y \cdot sin (γ)

y' = - x \cdot sin (γ) + y \cdot cos (γ)

Nun meine Frag: Die x-Achse dreht sich ja um 0°, wie berücksichtige ich das? Ist dies die richtige Formel, da nur ein Winkel berücksichtigt wird? Muss man es mit einer Drehmatrix ausrechnen?

Für zB den Vektor

{(0; 3)}^{T}

soll

{(3; - 4,243)}^{T}

rauskommen.
Wenn ich

y' =

(-3*cos(45°))

= \frac{- 3 \cdot \sqrt{2}}{2}

Das sind ungefähr

- 2,121,

genau die Hälfte des y-Anteils der Lösung von

- 4,243 . .

.
Und wie komme ich auf zB die 3 für den x-Anteil?

Danke schon mal im Voraus, im Internet finde ich leider nur auf Wikipedia etwas dazu und dort ist das Thema nur an einem speziellen Beispiel erklärt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

19:20 Uhr, 12.10.2016

Hallo
kannst du die Orginalaufgabe hier reinstellen? der Zettelausschnitt sagt ja wenig.
Gruß ledum

Stephan4

22:13 Uhr, 12.10.2016

Warum

(\begin{matrix} 0 \\ - 3 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \sqrt{2} \end{matrix})

?
Geh einfach 3 nach rechts und

3 \sqrt{2}

nach schräg links unten, also in Richtung der gedrehten negativen y-Richtung, und Du kommst zu einem Punkt, der genau 3 unterhalb des Ausgangspunktes liegt.

Allgemein:

(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & \sqrt{2} \end{matrix}) \cdot \vec{a} = \vec{a}'

Die Spalten dieser Matrix sind die Einheitsvektoren, ausgedrückt durch die Koordinaten des transformierten Systems.

sakamoto aktiv_icon

22:40 Uhr, 12.10.2016

Dies ist die Komplette Aufgabe, Aufgabenteil

a)

habe ich gemacht und verstanden.
Meine Frage bezieht sich auf den Aufgabenteil

b)

.
Dankeschön, schon einmal!

sakamoto aktiv_icon

22:47 Uhr, 12.10.2016

An Stephan: Ich verstehe nicht ganz wo/wie du den Winkel verwendet hast und wie man dann auf "einfach drei nach rechts" kommt?
Gibt es eventuell eine Formel wo man Winkel der Achsen und die alten Koordinaten der Vektoren einfügen kann? Denn manche Vektoren haben ja wie in den Lösungen zu sehen ist ihre alten Positionen zB behalten...
Vielen Dank schon einmal!

sakamoto aktiv_icon

22:47 Uhr, 12.10.2016

pwmeyer aktiv_icon

09:52 Uhr, 13.10.2016

Hallo,

ist klar, dass es nur darum geht, Zahlen

s

und

t

zu bestimmen, so dass

z . B

a = s \cdot e_{1}' + t \cdot e_{2}'

Wenn Du

e_{1}'

und

e_{2}'

bestimmt hast, ist das ein einfaches lineares Gleichungssystem.

Gruß pwm

sakamoto aktiv_icon

10:55 Uhr, 13.10.2016

Die Lösungen sind doch nur zur Kontrolle... Daraus kann man doch kein Gleichungssystem machen. Und das musst du raus kriegen ist auch keine sehr große Hilfe...
Das muss man mit polar Koordinaten errechnen und Einheitsvektoren sind auch nicht der richtige Lösungsweg...
Kann sich bitte jemand melden der sich mit Koordinatentransformation und Achsenverschiebung oder Mechanik auskennt!

pwmeyer aktiv_icon

11:34 Uhr, 13.10.2016

Jedenfalls konnte ich mit meinem Verständnis die Lösungen für

b)

bestätigen.

Aber warte lieber mal ab, bis jemand mit mehr Verständnis antwortet.

Gruß pwm

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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