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Kreis und Tangenten

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Kreis, Tangente

Conny1990 aktiv_icon

19:36 Uhr, 02.04.2010

Gegeben ist der Kreis

k

mit der Gleichung k->x1hoch2+x2hoch2+4x1-4x2=1.
1. Bestimmen Sie den Mittelpunkt

M

und den Radius

r

des Kreises.
2. Zeichnen Sie den Kreis

k

in ein geeignetes Koordinatensystem und konstruieren Sie dann die Tangenten an den Kreis vom Punkt

P (1; - 1)

aus.
3.Bestimmem Sie die Berührpunkte und die Gleichung der Tangenten durch geeignete Rechnungen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

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michael777 aktiv_icon

20:29 Uhr, 02.04.2010

x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 1

x^{2} + 4 x + 4 - 4 + y^{2} - 4 y + 4 - 4 = 1

{(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9

M (- 2 | 2), r = 3

aus der Zeichnung kann man erkennen, dass eine Tangente senkrecht, die andere waagrecht durch den Punkt

(1 | - 1)

verläuft

waagrechte Tangente:

y = - 1

Berührpunkt mit dem Kreis

B_{1} (- 2 | - 1)

setzt man

y = - 1

in die Mittelpunktsgleichung des Kreises ein, dann sieht man, dass

x + 2 = 0

sein muss

senkrechte Tangente:

x = 1

Berührpunkt mit dem Kreis

B_{2} (1 | 2)

da für

x = 1

die das erste Quadrat schon 9 ergibt, muss das zweite Quadrat mit

y = 0

sein
also

y = 2

Conny1990 aktiv_icon

20:39 Uhr, 02.04.2010

Vielen Dank, kannst du das wieder etwas mit Worten erklären? Wäre super.

Conny1990 aktiv_icon

12:57 Uhr, 06.04.2010

Jetzt soll ich noch dazu eine Aufgabe machen:

Gegeben ist ein Ursprungskreis mit Radius

r = 10

sowie das Dreieck ABC mit

A (- 16; - 6); B (17; - 6)

und

C (- 4; 22)

. Untersuche, ob die Seiten des Dreiecks den Kreis schneiden, berühren oder verfehlen. Fertigen zunächst eine Zeichnung an.

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13:43 Uhr, 06.04.2010

x²+y²=100 ---> Kreisgleichung

g_{A B} : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} - 16 \\ - 6 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{rcl} 33 \\ 0 \end{array})

g_{B C} : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} 17 \\ - 6 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{rcl} - 21 \\ 28 \end{array})

g_{A C} : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} - 16 \\ - 6 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{rcl} 12 \\ 28 \end{array})

Setze nun jede Gerade in die Kreisgleichung ein und löse die quadratische Gleichung.

Durch die Anzahl der Lösungen der Gleichung UND daran ob die Lösungen zwischen 0 und 1 liegen wirst du erkennen wie die entsprechende Seite zum Kreis liegt.

Conny1990 aktiv_icon

09:28 Uhr, 07.04.2010

Leider weiß ich nicht, wie ich das in die Kreisgleichung einsetzten soll. Ich bräuchte wirklich ein komplettes Beispiel dieser Aufgabe, da ich das noch nie gemacht habe.

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10:18 Uhr, 07.04.2010

Also einfach so?

{(- 16 + r \cdot 33)}^{2} + {(- 6 + r \cdot 0)}^{2} = 100

{(17 + s \cdot (- 21))}^{2} + {(- 6 + s \cdot 2)}^{2} = 100

{(- 16 + t \cdot 12)}^{2} + {(- 6 + t \cdot 2)}^{2} = 100

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10:44 Uhr, 07.04.2010

Bis auf ein paar Abschreibfehler stimmt es.

Conny1990 aktiv_icon

12:58 Uhr, 07.04.2010

Was mache ich, wenn ich für

r, s

und

t

Lösungen habe... Also nach was muss ich jetzt gucken... Wie viele Lösungen ergeben welche Feststellung?

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14:06 Uhr, 07.04.2010

Wenn du z.B. genau eine Lösung raus bekommst gibt es auch genau einen gemeinsamen Punkt von Gerade und Kreis - überlege selbst ob das für einen Schnitt, eine Berührung oder für ein Verfehlen spricht ;-)

Conny1990 aktiv_icon

18:29 Uhr, 07.04.2010

Schnitt sind zwei Lösungen und Berührung keine?

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18:30 Uhr, 07.04.2010

Nicht raten ;-)
Wenn Kreis und Gerade sich berühren, wieviele Punkte haben sie dann gemeinsam ?

Conny1990 aktiv_icon

18:41 Uhr, 07.04.2010

Eine? Aber beim Schnitt sind es zwei oder?

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18:47 Uhr, 07.04.2010

Genau, damit hast du es ja.
Ist dir klar warum ich das mit dem Bereich zwischen 0 und 1 dazu geschrieben habe ?
Auf was kommst du ?

Conny1990 aktiv_icon

18:49 Uhr, 07.04.2010

Also der Bereich ist mir leider nicht klar, weil ich das noch nie gemacht habe. Auch nicht in der Schule.

\frac{;}{}

Also erstmal muss ich wissen, ob ich jetzt bei der Korrektur richtig abgeschrieben habe:

(-16+r⋅33)2+(-6+r⋅0)2=100
(17+s⋅(-21))2+(-6+s⋅28)2=100
(-16+t⋅12)2+(-6+t⋅28)2=100

Stimmt das jetzt?

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18:54 Uhr, 07.04.2010

Ja das stimmt soweit, nur die 2 jeweils hinter der Klammer gehört eigentlich in den Exponenten.
Nun heisst es Klammern auflösen und die drei quadratischen Gleichungen lösen.
Kriegst du das hin ?

Zu dem Bereich von 0 bis 1 sage ich dann später noch was.

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18:55 Uhr, 07.04.2010

Ja, ich mach es gleich und stell es rein.

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19:06 Uhr, 07.04.2010

Also für die erste Gleichung habe ich:

(-16)hoch2+2*(-16)*(33*r)hoch2+(-6)hoch2

+ r \cdot 0 \cdot 2 \cdot (- 6) + {(r \cdot 0)}^{2} = 100

256-1056*r+1089rhoch2+36=100

rhoch2-32:33*r-64:363=0

x 1 = 2,026

x 2 = - 0.087

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19:14 Uhr, 07.04.2010

oh ich hab nicht

p : 2

gerechnet.

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19:19 Uhr, 07.04.2010

Dann probier nochmal =)
Ich kam auf r=24/33 oder r=8/33

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19:31 Uhr, 07.04.2010

Ah, jetzt hab ich dasselbe raus :-)! Mein Taschenrechner wird verwirrt, wenn ich soviel aufeinmal eintippe, daran lag es.

Conny1990 aktiv_icon

19:37 Uhr, 07.04.2010

Was ist denn, wenn ich für jede Gleichung zwei Lösungen rauskriege? Schneidet dann der Kreis jede Seite des Dreiecks? Also stehen die drei Gleichungen für jeweils eine Dreiecksseit? Ich kann mir das schwer vorstellen... Weil wenn ich dann

z . B

. eine Lösung bei der 1. Gleichung hätte, würde sich die Zeite mit dem Kreis berühren. Bei der 2. Gleichung berühren sich Dreiecksseite und Kreis gar nicht, da keine Lösung existiert? (Das sind jetzt nur Beispiele und trifft für die Aufgabe nicht zu)

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19:46 Uhr, 07.04.2010

Du musst dir das so vorstellen, dass du durch das Einsetzen der Geraden in die Kreisgleichung jetzt rausbekommst wieviele gemeinsame Punkte Gerade und Kreis haben.
Die erste Gerade beinhaltet die Seite AB, die zweite Gerade die Seite BC und die dritte Gerade die Seite AC.
Wenn du beim Einsetzen jeder Geraden in die Kreisgleichungt immer zwei verschiedene Lösungen rauskriegen würdest dann schneidet der Kreis jede Seite des Dreiecks - aber auch nur dann wenn die zwei Lösungen zwischen 0 und 1 liegen.
Wenn du die Lösungen alle berechnet hast kann ich dir mal eine Skizze anhängen (falls du noch keine gemacht hast).

Conny1990 aktiv_icon

23:00 Uhr, 07.04.2010

Vielen Dank für die Antwort. :-)
Ich habe für die zweite Gleichung eine Lösung heraus:

3 : 7 (0,4286)

Für die dritte Gleichung erhalte ich kein Ergebnis.
Stimmt das?
Ich würde mich sehr über eine angehängte Skizze freuen, weil dann sehe ich, ob ich das richtig gezeichnet habe.
Die zwei Ergebnisse müssen zwischen 0 und 1 liegen, damit der Kreis jede Seite des Dreiecks schneidet... Ist diese Regel nur für diesen Sachverhalt gedacht oder auch

z

. B. beim Berühren von Kreis und Dreieck?

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23:13 Uhr, 07.04.2010

Hört sich gut an, hab ich auch so =)

Unten siehst du eine Skizze und daran sieht man auch, dass alles so stimmt.
Ich habe mal noch zusätzlich einen Punkt A' eingetragen um zu verdeutlichen warum ich immer von diesem Bereich zwischen 0 und 1 rede.
Stell dir vor man hätt eine Gerade durch A' und B gelegt.
Die hätte den Kreis ja auch geschnitten.
Aber die Dreiecksseite von A' bis B läge ja außerhalb des Kreises.
Für wenn r jetzt also einen Wert zwischen 0 und 1 annimmt dann befindet sich der gemeinsame Punkt von Kreis und Gerade in jedem Fall zwischen A und B, also genau auf der entsprechenden Dreiecksseite.

Conny1990 aktiv_icon

23:17 Uhr, 07.04.2010

Vielen lieben Dank! Echt super von dir. Aber woher wusstest du, dass du den Kreis so zeichnen musstest? Also der Radius kommt wohl von der

100

auf der rechten Seite der ganzen Gleichungen. Weil die Wurzel aus

100

ist dann

10 . .

. Woher war der Mittelpunkt bekannt?

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23:19 Uhr, 07.04.2010

Wegen dem Wort "Ursprungskreis" aus der Aufgabenstellung =)
Der Ursprung (0|0) ist also der Kreismittelpunkt.

Conny1990 aktiv_icon

23:22 Uhr, 07.04.2010

Ach, natürlich! Jetzt ist mir das auch klar. Ich denke soweit ist jetzt alles geklärt dank deinen schnellen und guten Antworten. Anfangs war ich noch etwas verzweifelt, weil das in keinem Buch stand und keiner mir das erklären konnte. Also du hast mir echt sehr gut geholfen. :-)

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23:23 Uhr, 07.04.2010

Freut mich wenn es dir geholfen hat =)
Viel Erfolg weiterhin.

Conny1990 aktiv_icon

23:25 Uhr, 07.04.2010

Ja, hat mir super gut geholfen! :-) Ich werd mir das nochmal angucken und dann hab ich es hoffentlich endgültig raus. Vielen Dank!

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