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Kreisberechnung aus 2 Punkten und 2 Richtungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Kreis, Mittelpunkt, Radius, Richtungsvektor, Tangent, Vektor

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14:02 Uhr, 17.04.2016

Guten Tag,

ich habe ein Problem, bei dem ich irgendwie nicht wirklich weiter komme, da ich irgendwie auf keinen grünen Zweig komme.

Problem:
Ich habe 2 Punkte [ P1(X1, Y1), P2(X2, Y2) ] und dazu 2 Richtungsvektoren [R1(XR1, YR2), R2(XR2, YR2)], die auf den jeweiligen Punkten (P1 und P2) stehen.
Aus diesen Angaben würde ich nun gerne einen Kreis berechnen, der durch P1 und P2 geht und dabei an den jeweiligen Orten auch die gleiche Steigung hat. Also das R1 und R2 quasi Tangenten sind.

Mein Lösungsansatz:

P 1 = (\binom{X 1}{Y 1})

P 2 = (\binom{X 2}{Y 2})

R 1 = (\binom{R X 1}{R Y 1})

R 2 = (\binom{R X 2}{R Y 2})

Rechterwinkel zu den Richtungsvektoren müsste jeweils eine Normale geben, die sich dann in M schneidet.

(\binom{R X 1}{R Y 1}) * (\binom{a}{b}) = 0

(\binom{R X 2}{R Y 2}) * (\binom{c}{d}) = 0

Zu M: (r1, da der mittelpunkt ja gleichweit von beiden Punkten entfernt ist)

M = (\binom{X 1}{Y 2}) + r 1 (\binom{a}{b})

oder

M = (\binom{X 2}{Y 2}) + r 1 (\binom{c}{d})

r berechnen)

(\binom{X 1}{Y 2}) + r 1 (\binom{a}{b}) = (\binom{X 2}{Y 2}) + r 1 (\binom{c}{d})

X 1 + r 1 * a = X 2 + r 1 * c

Y 2 + r 1 * b = Y 2 + r 1 * d

r 1 = \frac{X 2 - X 1}{a - c}

r 1 = \frac{Y 2 - Y 1}{b - d}

So! Formel 1 und 2 könnte ich jetzt auch wieder gleich setzen um 1,b,c oder d zu berechnen, aber hier noch eine Frage.

Ich hab bisher nur mit 3 dimensionalen Vektoren gearbeitet und bin mir jetzt gerade nicht ganz sicher. Bei einem zweidimensionalen Vektor gibt es doch nur eine Möglichkeit zum Skalarprodukt 0, oder? Bzw. 2 Möglichkeiten, aber dann ist die 2. Möglichkeit (-1) mal der 1. Möglichkeit.

Wenn das so alles Richtig ist, wäre ich Dankbar, wenn mir das jemand bestätigen könnte, oder vielleicht auch eine bessere Lösung hinzufügt. (Es muss nicht Vektoriel gelöst werden)

Darkproduct

PS: Ich hab zwar schon einige erfahrung mit LaTeX, aber ich hab leider keine Ahnung, wieso zwischen den Formeln, so viel freiraum ist. Sry!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels

Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels?

Elementare Kreisteile

Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Kreissegments und eines Kreissektors?

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Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Kreis - Umfang und Inhalt

Wie berechne ich den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises?

Kreiszahl Pi

Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

rundblick aktiv_icon

14:08 Uhr, 17.04.2016

.
" 2 Richtungsvektoren , die auf den jeweiligen Punkten

(P 1

und

P 2)

stehen. "

oh jeh..

... ... ... .

. Vektoren stehen NICHT auf einem PUNKT

. .!

wie sieht der Originaltext der Aufgabe aus ?

" Also das

R 1

und

R 2

quasi Tangenten sind."

also schneide die durch

P_{1}

bzw

P_{2}

gehenden Lotgeraden zu

R_{1}

bzw zu

R_{2}

und du hast den Mittelpunktg des Kreises..
und damit dann auch den Radius

fertig, oder?
.

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14:15 Uhr, 17.04.2016

Es gibt keinen "Orginaltext" und natürlich können Vektoren auf einem Punkt stehen, da ein Punkt kein Vektor ist. Wenn überhaupt hat ein Punkt einen Ortsvektor!

Außerdem hab ich nichts von "Senkrecht" gesagt. Lies doch einfach mal die Aufgabe nochmal anstatt irgendeinen Schwachsinn zu Antworten.

Stell dir doch das als Tangente vor:

x = (\binom{X 1}{Y 1}) + s * (\binom{R X 1}{R Y 1})

und

x = (\binom{X 2}{Y 2}) + s * (\binom{R X 2}{R Y 2})

Jetzt muss aber der Berührpunkt des Kreises in dem Punkt sein, indem der "Stützvektor" auf die Gerade/Tangente trifft.

Mfg Dark

Stephan4

14:17 Uhr, 17.04.2016

Gegeben

P_{1}, {\vec{r}}_{1}

und

P_{2}, {\vec{r}}_{2}

M

liegt im Schnittpunkt der Geraden in Gleichungsform:

{\vec{r}}_{1} \cdot \vec{X} = {\vec{r}}_{1} \cdot {\vec{P}}_{1}

{\vec{r}}_{2} \cdot \vec{X} = {\vec{r}}_{2} \cdot {\vec{P}}_{2}

Oder mit Parametern, wie Du es geschrieben hast.

Aber nur, wenn die Punkte wirklich auf einem Kreis liegen und die Richtungsvektoren in Tangentenrichtung sind.

Den Normalvektor bekommst eines Vektors bekommst Du, indem Du die Werte vertauscht und bei einem das Vorzeichen änderst.

:-)

rundblick aktiv_icon

14:24 Uhr, 17.04.2016

.
" anstatt irgendeinen Schwachsinn zu Antworten."

danke für den Schwachsinn - lies du meinen Vorschlag

nebenbei:
Punkte können zB Anfangspunkt oder Spitze eines Vektors sein
aber Vektoren stehen nicht auf Punkten herum..

.

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14:38 Uhr, 17.04.2016

@Stephan4: Danke!
"Den Normalvektor bekommst eines Vektors bekommst Du, indem Du die Werte vertauscht und bei einem das Vorzeichen änderst." Das hab ich mir auch gedacht ^^, aber ist das die Einzige (bzw. je nach Vorzeichen 2 Lösungen) Lösung, oder gibt es noch mehr?

Und dann noch eine Erweiterung:
Wenn P1 und P2 fest sind, aber R1 und R2 Variabel. Ist es bei jeder beliebigen Richtung von r1 und r2 überhaupt möglich daraus einen Kreis zu machen?
Bzw. natürlich nicht wenn R1 = k * R2 ist. D.h. würde ich es vielleicht so einschränken, dass M in Y Richtung zwischen P1 und P2 liegen muss. (Siehe ASCII Bild) Also R1 (von 90° bis >0°) und R2 (von >180° bis 90°).

------------------------------------------

----/\-R1
----/
---/-\
--/-a-)------------90°
P1------------------|
---------------------|
---------------------|
/\R2----------------M -------- 0°
|
|
|
P2
---------------------------------

Das Zeichnen geht bei mir irgendwie nicht und leider hab ich auf dem Rechner hier kein Zeichentool installiert...

Mfg Dark

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14:47 Uhr, 17.04.2016

@rundblick:

1) "danke für den Schwachsinn - lies du meinen Vorschlag"
Dein Vorschlag stand vorhin noch nicht da! Da stand nur:

>>" 2 Richtungsvektoren , die auf den jeweiligen Punkten (P1 und P2) stehen. "
>>oh jeh..
>>........... Vektoren stehen NICHT auf einem PUNKT ..!
>>wie sieht der Originaltext der Aufgabe aus ?"

Und zu deinem Vorschlag:
Nein! 6 Setzen. Die Aufgabenstellung hast du wohl einfach nicht verstanden.

Die Richtungsvektoren stehen für die Richtung des Kreises an dem jeweiligen Punkt. D.h. ist der Schnittpunkt dieser beiden Niemals M! Zwei Tangenten an einem Kreis geben auch nie M!

Edit: Ok "Lotgeraden" das kann man dann doch noch als Richtig interpretieren, aber hast du dir mal meinen Rechenweg angeschaut? Da steht schon genau das! Danke für meinen eigenen Vorschlag.

2)"Punkte können zB Anfangspunkt oder Spitze eines Vektors sein aber Vektoren stehen nicht auf Punkten herum.."

Ein Vektor muss auf einem bestimmten Punkt "stehen", weil er sonst unbestimmt wäre. Vektoren darf ich nach belieben im Raum verschieben! D.h. muss ich einen Punkt angeben "auf dem der Vektor steht"!
Oder wenn du es genau haben willst: Dann steht der Vektor R1 auf dem Ortsvektor von P1, d.h. auf P1.

Das war jetzt aber auch meine letzte Antwort zur Form oder sonst was, das nichts mit der Aufgabe zu tun hat!

Mfg Dark

Stephan4

15:09 Uhr, 17.04.2016

Zum Normalvektor:
Wenn Du das andere Vorzeichen änderst, zeigt der Normalvektor in die entgegengesetzte Richtung.

Es sind auch alle Vielfachen dieser Normalvektoren möglich.
Es gilt,

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,

wenn sie normal aufeinander stehen.

Zur Erweiterung:
Die Mittelpunkte aller Kreise durch zwei bestimmte Punkte liegen auf deren Symmetrieachse, also auf der Geraden, die durch den Punkt geht, der genau zwischen diesen Punkten liegt und normal dazu steht. Die Gerade in parameterfreier Form:

\vec{P_{1} P_{2}} \cdot \vec{x} = \vec{P_{1} P_{2}} \cdot \frac{P_{1} + P_{2}}{2}

Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der einen Tangentennormalen von oben ist der Mittelpunkt. Der zweite Richtungsvektor kommt hier nicht ins Spiel.

Das führt natürlich zu keiner Lösung, wenn der andere Punkt auf der Tangente des einen Punktes liegt.

:-)

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15:50 Uhr, 17.04.2016

@Stephan4:

Ja das war mir soweit klar. ;-) (Siehe Zeichnung 1)
Da ist dann der Winkel von der waagrechten Geraden aus Punkt M zu N1 gleich dem von dieser Geraden zu N2.

Meine Frage: (Siehe Zeichnung 2)
Ist das auch möglich, wenn R2 ungleich der vertikalen Spiegelung von R1 ist?

Um diese Frage vielleicht grundsätzlich besser verstehen zu können, hier ein paar Infos:
Es geht um ein Roboter-Auto das sowohl vorne als auch hinten eine lenkbare Achse hat. (Wie eine Auto Lenkung nur eben vorne und hinten) Diese beiden Lenkungen können dabei unabhängig von einander ausgeführt werden.

Im 1. Fall: Also eine Autolenkung, ist es sehr einfach zu berechnen, da der Vektor N1 einfach nur die Waagrechte von dem ungelenkten Punkt schneiden muss.

Edit: Also nur eine Lenkung Lenkt und die andere ist Gerade.

Im 2. Fall: (Zeichnung 1) Ist es, wie hier gerade auch diskutiert relativ einfach.

Edit: Beide Lenkungen haben den selben Lenkeinschlag, nur eben gespiegelt, damit es nicht seitwärts fährt.

Aber im 3. Fall: ?
Alle Punkte bewegen sich auf "konzentrischen Kreisen um einen gemeinsamen Mittelpunkt".
http://www.hs-augsburg.de/~rweber/Herr%20Winter/CAD_II_Skripte_010106/CAD_2_06_Schleppkurve_010106.pdf

Ich habe 2 Modellbau Achsen, bei denen das äußere Rad stärker einschlägt als das Innere.
Bsp: Siehe link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-26461-2_3#page-1 (2. Seite)

Kann ich so nach dem Ackermann-Grundgesetz (Siehe Link: eins weiter oben) den kurven Mittelpunkt berechnen?

Mfg Dark

ledum aktiv_icon

16:17 Uhr, 17.04.2016

Wenn Vorder und Hinterräder so geführt würden, dass sie alleine gesehen verschiedene Bogen bewirkten, funktioniert die Lenkung nicht. wenn sie also unabhängig voneinander gesteuert werden und diese Steuerung nicht gekoppelt ist gewint das angetriebene Rad und schleppt das andere schleifend mit. Oder ich hab dein Problem nicht verstanden,
Gruß ledum

Darkproduct aktiv_icon

16:19 Uhr, 17.04.2016

Indem Fall handelt es sich um einen Allradantrieb und ja Vorder- und Hinterradlenkung sind bisher Unabhängig voneinander und das soll, wenn möglich, auch so bleiben. ^^

Edit: Soweit ich mich da bisher Eingelesen und Eingedacht habe ist es, dass sich alle Punkte des Fahrzeugs auf "konzentrischen Kreisen um einen gemeinsamen Mittelpunkt" bewegen.
Hier auf der ersten Seite gut veranschaulicht: www.hs-augsburg.de/~rweber/Herr%20Winter/CAD_II_Skripte_010106/CAD_2_06_Schleppkurve_010106.pdf

D.h. muss ich nur den Mittelpunkt einer Kreisbahn bestimmen und habe dann den Mittelpunk für alle Kreisbahnen.

Jetzt ist eben nur die Frage: Wie berechne ich den Mittelpunk?
Kann ich einfach N1 und N2 Schneiden und den Punk dann als M annehmen, oder ist der Mittelpunkt bei so einer Lenkung woanders?

Mfg Dark

Darkproduct aktiv_icon

17:39 Uhr, 17.04.2016

Ich konnte einige meiner Fragen mit dem Buch: [Piotr Dudzinski] Lenksysteme für Nutzfahrzeuge (VDI-Buch) beantworten. Alles weitere muss ich dann wohl auf einigen Tests aufbauen.

Mfg Dark

1301661

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