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Kreise effizient in ein Rechteck legen
Universität / Fachhochschule
Tags: ineinander schieben, Kreis, Platzausnutzung, Rechteck
 
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Hallo miteinander, ich will vorweg gestehen, dass ich mathematisch völlig unbegabt bin Darum hoffe ich hier auf Eure Hilfe. Ich möchte in einem Rechteck (X=500mm Y=250mm) Kreise unterbringen. # Dieses Rechteck hat einen variablen, nicht belegbaren Seitenrand von 5mm in und Y. # Die Kreise sind im Durchmesser variabel, aber für je eine Rechteckbelegung immer gleich. # Die Kreise liegen immer paarweise Stück auf einer Linie nebeneinander. # Die Kreise haben als Paar immer den selben Abstand - 1mm. # Der Winkel dieser Kreisepaare ist variabel, aber für je eine Rechteckbelegung immer gleich. Um die Maße für den Winkel zu ermitteln verwende ich folgende Formel: b=d+(d+a)⋅cos(α) b=Breite d=Durchmesser a=Abstand α=Winkel Ermittelt wird ein Rechteck welches um die beiden gedrehten Kreis gezogen werden kann. Jetzt prüfe ich händisch wie oft die ermittelten Rechtecke in das Rechteck passen. Maße Rechteck geteilt durch Maße Rechteck . Jeweils für und Y. Abgerundet ergibt sich die Anzahl wieviele Rechtecke (B) Kreispaare in das Rechteck passen. Aufgrund der Kreisform, lassen sich aber die Rechtecke je nach Winkel der Kreispaare auch ineinander schieben, wodurch sich eine höhere Anzahl Kreise in dem Rechteck ergeben kann. Der Abstand der gedrehten und ineinander geschobenen Kreispaare die nebeneinander liegen, soll in und 3mm betragen. Da das so alles händisch sehr aufwendig ist, würde ich die Ermittlung der Werte gern via Formeln "automatisieren". Hier scheitere ich aber auf ganzer Linie... Ich möchte also folgendes berechnen können (Excel). 1. die mögliche Anzahl Kreispaare bei einem festgelegten Winkel auf dem Rechteck für und Y. 2. den idealen Winkel der Kreispaare bei einem variablen Winkel auf dem Rechteck mit der so möglichen Anzahl Kreispaare. 3. den Abstand der Rechtecke (B) und wenn man die Kreispaare ineinander schiebt (um die best mögliche Anzahl Kreispaare zu bekommen). Hier ergibt sich also ein Minuswert als Abstand. Wäre jemand so freundlich mir hier unter die Arme zu greifen? Liebe Grüße Klaus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Das Problem ist schon für Einzelkreise nicht trivial: Für die Gesamtebene ist die dichteste Kreispackung klar: de.wikipedia.org/wiki/Kreispackung In endlichen Rechtecken gibt es davon aber meist geringfügige Abweichungen, etwa dass das Netz der Kreismittelpunkte nicht mehr unbedingt aus gleichseitigen Dreiecken, sondern leicht gedehnt aus gleichschenkligen Dreiecken besteht. Da lässt sich dann u.U. noch eine Zeile mehr reinquetschen, je nach Rechteckmaßen. Ähnlich ist es womöglich hier bei deinen festen Zwei-Kreis-Gebilden: Selbst wenn man eine optimale Zeilenkonfiguration gefunden hat, so muss man die einzelnen Zeilen dann untereinander vielleicht seitlich versetzt anordnen, um den Platz möglichst gut auszunutzen. Oder vielleicht doch auch etwas mehr "Luft" innerhalb der Zeile lassen, weil dann die nächste (versetzte) Zeile dann einen geringeren Abstand haben darf, usw. Vielleicht kannst du ja mal ein Bild präsentieren, was so den typischen Fall zeigt - deine Beschreibung ist teilweise doch recht kryptisch. |
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Es tut mir wirklich leid wenn ich mich nicht verständlich ausgedrückt habe. Ich werde versuchen dies zu korrigieren. Das "Kreisgebilde" ist je einer Rechteck Belegung immer gleich. Für beide Kreise in dem Gebilde gilt immer derselbe Durchmesser, der selbe Winkel und derselbe Abstand. Die Position der Kreisgebilde in und auf dem Rechteck erfolgt immer im rechten Winkel, immer im gleichen Abstand und immer in einer Linie. Denkt man sich die Kreise weg und nimmt nur den Mittelpunkt der Rechtecke würde ein absolut gleichmäßig verteiltes Punkteprofil auf dem Rechteck entstehen. Ich habe eine nicht maßstabsgerechte "Skizze" erstellt. Vielleicht hilft das zum Verständnis? |
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Anbei die Skizze  |
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Das Bild aus dem Link aus Wiki zeigt im Prinzip genau das was ich will... |
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Ja, ist mir schon klar. Ich würde an deiner Stelle ähnlich vorgehen, wie ich es oben schon bei den Einzelkreisen angedeutet hatte: 1) Zunächst mal horizontal schauen, wie nah man zwei nebeneinanderliegende 2-Kreis-Gebilde zusammenschieben kann. Das läuft dann (auf dein konkretes Beispiel bezogen) auf eine Berührung des rechten unteren Kreises des ersten Gebildes mit dem linken oberen Kreis des zweiten Gebildes hinaus. (Hinsichtlich der Berührung kann man deine evtl. Sicherheitstoleranzen - 1mm, 3mm oder was weiß ich - ja dadurch abbilden, indem man virtuell etwas größere Kreise betrachtet.) 2) Für eine definierten Abstand dieses horizontalen Minimalabstands kann man nun schauen, wie nah man (bei evtl. horizontaler Versetzung) die nächste solche Zeile an die darüberliegende Zeile heranrücken kann. Aufgrund diese Abstände kann man nun ausrechnen, wieviel Gebilde pro Zeile und wieviel Zeilen man im Rechteck unterbringen kann. Diese Methode mag noch nicht unbedingt das Optimum darstellen, dürfte aber ziemlich nah dran sein. |
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Ok... nur hab ich absolut keinen Plan wie ich sowas Formeltechnisch angehen sollte. Ich bin mathematisch quasi eine Vollniete |
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Dazu benötigt man im wesentlichen nur Pythagoras. |
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Ok, hab ich gegoogelt... Tut mir leid - ich weiß nicht damit umzugehen Ich weiß nicht wo ich wann für was einsetzen sollte damit am Ende das raus kommt was ich suche. Vielleicht sollte ich auch einfach bei dem bleiben wie ich es bisher mache... |
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