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Kreisspiegelung eines Kreises
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Geometrie, Kreis, Kreisspiegelung
 
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Hallo! Gegeben sei ein Kreis K mit Radius r. Ein weiterer Kreis K' mit Radius r' schneide K nun in den beiden Punkten A und B derart, dass die Strecke AB orthogonal auf der Strecke durch die MIttelpunkte der beiden Kreise geht. Wie kann ich zeigen, dass jeder Kreis K' unter diesen Voraussetzungen durch Kreisspiegelung an K in sich selbst übergeht? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade |
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Hallo da in sich übergehen und Kreise in Kreise, musst du nur noch einen Punkt spiegeln, am einfachsten den auf MM' Gruß ledum |
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derart, dass die Strecke AB orthogonal auf der Strecke durch die MIttelpunkte der beiden Kreise geht. Das hast du wohl falsch angegeben, denn das gilt ja immer für beliebige zwei Kreise. Vielmehr sollen sich die beiden Kreise orthogonal schneiden, . dass die jeweiligen Berührradien aufeinander normal stehen. Solche Kreise gehen bei Inversion am anderen Kreis in sich selbst über. Was den Beweis selbst anlangt, so müsstest du uns verraten, wie ihr die Kreisspiegelung definiert habt, wie also der Beweis erfolgen soll - rechnerisch oder geometrisch (Pol-Polare). Außerdem müssten wir wissen, ob außer der Definition auch schon andere Eigenschaften dieser Abbildung bekannt sind bzw. verwendet werden dürfen. Darf die Winkeltreue der Abbildung benutzt werden, wäre die Sache zB trivialst. |
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Hallo! Ja, das habe ich dummerweise falsch aufgefasst - Danke! Definiert haben wir die Kreisspiegelung gar nicht. Insofern würde ich vermuten, dass wir außer einer Definition nichts weiter heranziehen sollten. |
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Definiert haben wir die Kreisspiegelung gar nicht. Insofern würde ich vermuten, dass wir außer einer Definition nichts weiter heranziehen sollten. ???? Wenn ihr die Kreisspiegelung gar nicht definiert habt . |
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Ja, das macht wenig Sinn, ich weiß. Erklären kann ich es nicht, allerdings liegt in dem dazugehörigen Kurs eine Mischung aus Eigenstudium und.. Input vor. Aus diesem Grund würde ich dann einfach eine von mehreren Definitionen heranziehen. Gerne z.B. die Definition auf Wiki. |
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Ja, das macht wenig Sinn Ich fürchte, dass du da Recht hast. Denn wenn nicht klar ist, von wo man startet, ist es kaum möglich, eine Wegbeschreibung um Ziel anzugeben. Oder kann dir dein Navi den Weg nach Rom beschreiben, wenn du ihm nicht verrätst, von wo du startest? OK, Rom ist ein schlechtes Beispiel - man sagt ja, dass alle Wege dorthin führen würden. Gerne . die Definition auf Wiki. Die da in deinen eigenen Worten wäre ? |
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Gegeben sei ein Kreis K mit Mittelpunkt M und Radius R. Die Spiegelung eines Punktes P am Kreis K ergibt einen Bildpunkt P', der auf [MP] liegt und für den gilt: So klingt das für mich einigermaßen nachvollziehbar :-) |
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Also ohne komplexe Zahlen und vor allem ohne Geometrie. Mit der Definition musst du das doch bloß nachrechnen. Stell die Gleichung eines Kreises auf, der den Kreis orthogonal schneidet, unterwirf ihn rechnerisch der Trafo und forme so um, dass man sieht, das der ursprüngliche Kreis wieder rauskommt. Anders ausgedrückt: Wähle einen beliebigen Punkt auf und zeige, dass sein Bild wieder auf liegt. Beachte dabei, dass das Dreieck ein rechtwinkeliges ist und du daher den Abstand dank Pythagoras leicht durch und ausdrücken kannst. Alternativ kannst du auch den Beweis in der Wikipedia verwenden, dass die Abbildung kreistreu ist (mit Ausnahme der Kreise durch den Mittelpunkt deren Bilder dann bestenfalls als Kreise mit unendlichem Radius gesehen werden könne). Dann folge ledums Vorschlag. |
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Hey, danke! Also... Dann hätten wir: Sei P' ein Punkt auf k'. Dann gilt für die Spiegelung von P' an k: , wobei P der gesuchte Spiegelpunkt ist. Was ich zeigen muss, ist, dass , womit sein muss. Mit deinem Hinweis habe ich auch: Noch sehe ich nicht, wieso mir die Länge von hier weiterhilft? |
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Am einfachsten geht es sicher mit jenem Punktepaar von die auf dem Radialstrahl liegen. Wenn der Kreis im Inneren von ist, dann ist sein Abstand vom Mittelpunkt des Inversionskreises . Den Bildpunkt von erhältst du eben durch Einsetzen dieses Abstands in die Definition und erhältst damit den Abstand des Bildpunkts von M. Diesen Ausdruck musst du nun solange kneten und umformen (rationaler Nenner durch Erweitern) bis sich der Ausdruck einstellt, an dem du erkennst, dass auch am Kreis liegt. Wenn man nun weiß/voraussetzen darf, dass die Abbildung kreistreu ist, ist man damit schon fertig. Du kannst ja den Beweis von Tante Wiki übernehmen. Ansonsten müsstest du tatsächlich einen allgemeinen Punkt von transformieren, was vermutlich deutlich aufwändiger ist. Also erstmal ein Koordinatensystem geschickt wählen, dann die Gleichung von aufstellen, . |
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