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Kurve aus drei Punkten

Universität / Fachhochschule

Tags: Exponentialfunktion

Stef124 aktiv_icon

16:44 Uhr, 29.03.2016

Hallöchen,

ich muss eine Kurve aus drei Punkten erstellen.

$(1; 0,01)$
$(15; 0,02)$
$(30; 0,1)$

Wie mache ich das am Besten?
Was nehme ich am Besten? Wichtig ist, wie die Punkte beschreiben, dass der Anstieg zunächst recht gering verläuft und zum Ende hin dann immer steiler wird.

Bei mir ists schon ein paar Jährchen her...
Ich habe es mit einer Exponentialfunktion versucht, aber es hat nicht geklappt.

Könnt ihr mir helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

17:56 Uhr, 29.03.2016

$>$ Was nehme ich am Besten?
Die Frage kann man dir leider nicht beantworten, denn das hängt davon, was du machen möchtest.
Manchmal reicht simple lineare Interpolation zwischen den Datenpunkten aus, manchmal greift man zur Interpolation mit kubischen Splines.
Wenn die Daten durch eine einzige Funktionsgleichung beschreiben werden müssen (warum?), dann wird man sich oft mit verschiedenen Regressionen zufrieden geben müssen. Welchen Funktionstyp man da zugrunde legt, hängt davon ab, was man von den Daten und ihrer Herkunft weiß.

In deinem Fall sind es ja nur mickrige drei Datenpunkte und so kannst du im Grunde nahezu mit jedem Funktionstyp, der von mindestens drei Parametern abhängig ist, dein Glück versuchen.

Hier eine kleine Auswahl:
Logistic: $y = \frac{a}{1 + b \cdot e^{- c x}}$
$a = - 9.695230571584404 E - 03$
$b = - 2.009674244962080 E + 00$
$c = 2.018123128065034 E - 02$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Reciprocal Quadratic: $y = \frac{1}{a + b \cdot x + c \cdot x^{2}}$
$a = 1.040394088669951 E + 02$
$b = - 4.070607553366174 E + 00$
$c = 3.119868637110016 E - 02$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Farazdaghi-Harris: $y = \frac{1}{a + b \cdot x^{c}}$
$a = 1.072104480237720 E + 02$
$b = - 7.210448023771972 E + 00$
$c = 7.648327383426606 E - 01$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Bleasdale: $y = {(a + b \cdot x)}^{- \frac{1}{c}}$
$a = 2.700165706732915 E + 01$
$b = - 7.291996845581000 E - 01$
$c = 7.097503481148565 E - 01$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Hoerl: $y = a \cdot b^{x} \cdot x^{c}$
$a = 8.821145172061905 E - 03$
$b = 1.133639658450666 E + 00$
$c = - 3.925039222780996 E - 01$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Heat Capacity: $y = a + b \cdot x + \frac{c}{x^{2}}$
$a = - 6.050679205851620 E - 02$
$b = 5.347813106433797 E - 03$
$c = 6.515897895208241 E - 02$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Steinhart-Hart Equation: $y = \frac{1}{A + B \cdot ln (x) + C \cdot {ln (x)}^{3}}$
$A = 1.000000000000000 E + 02$
$B = - 4.612797696644178 E + 00$
$C = - 1.888675689512067 E + 00$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Hyperbolic Decline: $y = q_{0} \cdot {(1 + b \cdot \frac{x}{a})}^{- \frac{1}{b}}$
$q_{0} = 9.621616078503471 E - 03$
$a = - 2.628146433555935 E + 01$
$b = 7.097503481148564 E - 01$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$

Abzuraten wäre von einer simplen Parabel zweiter Ordnung, da der Kurvenverlauf vermutlich unerwünscht ist (nach dem ersten Datenpunkt absteigend)
Polynomial Regression (degree=2): $y = a + b \cdot x + c \cdot x^{2}$
$a = 1.167487684729047 E - 02$
$b = - 1.834154351395727 E - 03$
$c = 1.592775041050904 E - 04$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$

Dass etwa $1.2345 E - 02 = 1,2345 \cdot 10^{- 2}$ ist, ist bekannt, oder?

Viel Spaß damit!

$R$

Stef124 aktiv_icon

20:41 Uhr, 29.03.2016

Wow!

Hey Roman, vielen Dank für die außerordentlich hilfreiche Antwort. Ich bin sehr erfreut.

Die Kurvenverläufe sind außerordentlich hilfreich für mich.
Das ist wirklich großartig.

Wie hast du das gemacht? Bestimmt mit einem Programm - verrätst du mir welches? Ich muss weiter daran tüfteln. $Z . B$ . könnte der Anstieg zunächst noch flacher und dafür später noch steiler sein.

1.2345E−02=1,2345⋅10−2 ...kenne ich natürlich :-) aber, man braucht ja nicht alles über die Jahre und so einiges vergisst man mit der Zeit, einiges lernt man dazu.

Vereinfachend gesagt, beschreiben die Kurven ein gewisses Handelsgeschehen.

pleindespoir aktiv_icon

20:50 Uhr, 29.03.2016

GeoGebra

kann das und ist einfach zu bedienen.

Die drei Punkte eingeben - "Trend" in die Eingabezeile schreiben und schon kommt eine Latte von Funktionsvorschlägen.

Viel Spaß dabei !

Roman-22

21:45 Uhr, 29.03.2016

$>$ Vereinfachend gesagt, beschreiben die Kurven ein gewisses Handelsgeschehen.
Na, das ist aber mutig, hier aus nur drei Beobachtungen etwas schließen zu wollen.

$>$ GeoGebra
$>$ kann das und ist einfach zu bedienen.
$> . .$ . und schon kommt eine Latte von Funktionsvorschlägen.
Hmm, bei Eingabe von "Trend" allein kommt die bei mir noch nicht und die "Latte" besteht gerade mal aus acht Funktionstypen, oder überseh' ich da etwas?
Wirklich "passend", in dem Sinn, dass die drei Punkte tatsächlich auf dem Funktionsgraphen liegen, so wie in allen von mir oben geposteteten Funktionen, sind dann nur mehr "logistisch" und natürlich "Polynom". Immerhin, "logistisch" wäre vielleicht eine gute Wahl, zumindest wenn es für die Anwendung, die wir ja nicht kennen, in Ordnung ist, dass die Kurve bei ca. $x = 34,6$ eine Polstelle hat (siehe beigefügte Grafik).
Wenn die Kurve über $34,6$ hinaus auch noch steigen soll, dann scheidet Geogebra aber aus und du musst dir eben aus meiner Liste eine andere, passendere, Funktion wählen. Ich hoffe, du findest da etwas Brauchbares für deine Zwecke.

Naja, man kann für derartige Aufgaben auch einen Spezialisten wie CurveExpert Pro bemühen. Die kostenlose Demo/Eval reicht dazu vollkommen aus und das Programm arbeitet automatisch alle eingespeicherten (das sind eine ganze Menge, geschätzt $60 +)$ oder auch selbst kreierten Funktionstypen durch, variiert selbstständig die Parameterschätzwerte und sortiert dann die Ergebnisse auch noch gereiht nach bestem Fit.
Sehr brauchbar, wenn man öfter mit so etwas zu tun hat.
Und ja, genau aus diesem Programm stammen natürlich die Funktionen, die ich gepostet hatte.

$> Z . B$ . könnte der Anstieg zunächst noch flacher und dafür später noch steiler sein.
Dann ist dir ja die senkrechte Asymptote beim Logistik-Modell vielleicht gar nicht so unwillkommen?
Du kannst dir ja das Programm mal laden und damit herum spielen. Entweder du kreierst auf Basis der vorhandenen Modelle und Funktionen eigene, oder aber du fügst einfach noch ein paar Datenpunkte ein, die deinem gewünschten Kurvenverlauf entsprechen. Allerdings darfst du dann nicht mehr erwarten, Funktionen zu erhalten, deren Graphen exakt durch alle Punkte durchgehen.

$R$

Eva88 aktiv_icon

21:50 Uhr, 29.03.2016

Bilde dir eine Funktion:

$y = a \cdot e^{b \cdot x} + c$

Dann kannst du nach a und $b$ und $c$ auflösen.

Roman-22

21:53 Uhr, 29.03.2016

$>$ Dann kannst du nach a und $b$ und $c$ auflösen.
Na, das versuch bitte mal mit den angegebenen Daten! :-)

Aber mit Rechnerunterstützung ist natürlich auch dieses Modell leicht umsetzbar.
ExpF

$R$

Stef124 aktiv_icon

22:17 Uhr, 29.03.2016

Ihr seid riesen Schätze :-)

Ich bohre mich rein.

Vielen Dank euch.

Stef124 aktiv_icon

22:39 Uhr, 29.03.2016

Also CurveExpert Pro ist für meine Zwecke wie geschaffen und ich habe auch fast sofort zum Ziel finden können.

Stef124 aktiv_icon

22:40 Uhr, 29.03.2016

Also CurveExpert Pro ist für meine Zwecke wie geschaffen und ich habe fast sofort zum Ziel finden können. Spitze.

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