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Lagrange Verständnisfrage Isoquanten

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

 
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Binary91

Binary91 aktiv_icon

23:52 Uhr, 03.05.2021

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Hallo zusammen,

ich habe eine Verständnisfrage zum Lagrange-Formalismus. Visuell veranschaulicht hat unser Dozent den Algorithmus anhand einer Grundfunktion in Form eines umgekehrten Paraboloiden (also mit globalem Maximum) und einer Nebenbedingung in Form einer 2D-Kurve.

Nun hat er das bekannte Schaubild der Isoquanten gezeigt, welche sich zum Ursprung konkav der zum Ursprung konvexen Nebenbedingungskurve verhalten. Gesucht ist nun der Berührpunkt der beiden Kurven, da dieser ja das "höchste" Niveau, also die größte Isoquante des Paraboloiden darstellt.

Was ist denn nun aber in einem Fall, in dem die Nebenbedingungskurve so ausladend groß verläuft dass deren Maximum bereits hinter dem Maximum des Paraboloiden liegt? In diesem Fall nehmen die Isoquanten ja bereits wieder ab in Richtung Maximum!

Habe ich einen Denkfehler? Theoretisch müsste so ein Fall doch möglich sein. Falls ja, dann müsste doch immer auch geprüft werden, ob die Isoquanten auch tatsächlich an Niveau gewinnen, wenn die Nebenbedingung maximiert wird...

Vielen Dank bereits vorab für eure Rückmeldungen.

LG Binary91

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pivot

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17:30 Uhr, 04.05.2021

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Hallo,

ich mache es mal ein bisschen konkreter: Zu maximierende Funktion: f(x,y)=x0,4y0,3. Mit der Restriktion 2x+3y=35.

Jetzt zeichnet man die Restriktion in ein x,y-Diagramm (siehe Bild). Und ebenfalls für verschiedene Niveaus (fk) von f den Graph y(fk,x) eine. Prinzipiell gibt es da erst einmal keine Einschränkung nach oben. Man sucht jetzt das maximale Niveau f(x0,y0) bei dem f gerade noch von y=35-2x3 berührt wird.
Wo siehst du denn jetzt konkret Probleme?

Gruß
pivot

niveau
Binary91

Binary91 aktiv_icon

17:52 Uhr, 04.05.2021

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Hallo pivot,

erst einmal vielen Dank für Deine Rückmeldung.

Bei Deiner Abbildung passt mein Beispiel wahrscheinlich nicht, da je weilter in Richtung Ursprung man gehen würde, desto höher wäre das Niveau.

Nimm mal mein Beispiel mit dem umgedrehten Paraboloid. Da existiert irgendwo das Maximum. Jetzt ist die Restriktion eine Kurve konvex zu den Isoquanten (siehe Anhang). Hier macht es Sinn, dass das bedingungs-abhängige Maximum ein Berührpunkt zwischen der Restriktion und einer Isoquante ist, da die Isoquanten nach links ja bergauf gehen. Was aber, wenn eben jene Kurve im Bild "links" des Maximums lägen oder sie lägen rechts davon aber die Restriktion wäre nicht konvex sondern konkav. In beiden Fällen würde ja nicht mehr der Berührpunkt mit dem Maximum der Restriktion die höchste Isoquante sein, sondern eines der beiden "Enden" der Kurve, quasi deren Ränder. Oder sehe ich das falsch?

Iso
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pivot

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18:02 Uhr, 04.05.2021

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Ich würde mal vorschlagen du suchst dir ein konkretes Beispiel wo du glaubst das es nicht funktioniert. Das kann man dann auch analysieren.
Binary91

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18:12 Uhr, 04.05.2021

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Also, ganz stupide:
f(x,y)=x2-y2

Diese Funktion sollte ja ungefähr so aussehen wie die blauen Isoquanten in der Abbildung meines letzten Beitrags.

Jetzt sei die Restriktion einfach eine Gerade durch den Ursprung:
y=x

Wie möchte man da jetzt Berühungspunkte finden, wenn die Restriktion ugf. orthogonal zu den Isoquanten verläuft?

Ein anderes Beispiel wäre eine Restriktion wie diejenige rote Kurve aus der Abbildung, welcher aber konkav anstatt konvex verläuft. Auch hier wäre der Berührpunkt ja eher die Richtung mit den niedrigen Isoquanten-Niveaus. Für das Maximum müsste ich ja dann eher die Ränder der Restriktionskurve anschauen...

Antwort
pivot

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18:46 Uhr, 04.05.2021

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Soweit ich das sehe verlaufen die Isoquanten nicht orthogonal zu der zu maximierenden Funktion, sondern die zu maximierende Funktion liegt bei f(x,y)=0 direkt auf y=x.
Somit haben sowohl die Nebenbedingung als auch f(x0,y0) die gleiche Steigung.
Siehe beide Grafiken in 2D und 3D.

lagrange2
lagrange1
Binary91

Binary91 aktiv_icon

18:57 Uhr, 04.05.2021

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Ja, in diesem Beispiel läuft jetzt die Gerade genau durch das Maximum.

Aber darum geht es mir nicht. Es geht um den allgemeinen Fall. Der Dozent spricht davon, dass man nicht irgendeinen Schnittpunkt der Restriktionskurve mit den Isoquanten nehmen darf, sondern dass man den Tangentenpunkt nehmen muss, da so das höchste Niveau erreicht würde. In dem Fall mit der Geraden jetzt gibt es doch gar keinen solchen Tangentenpunkt, die Gerade zieht exakt durch das Maximum durch.

Nochmal auf meine Abbildung zurück: Was wäre, wenn die gleiche Abbildung jetzt eine gespiegelte Restriktionskurve hätte, die ergo konkav zum Ursprung ist. Der Berührpunkt gibt ja dann das niedrigste Niveau an, nicht mehr das höchste Niveau. Somit müsste man doch immer prüfen, welcher Natur dieser Berührpunkt ist, oder?
Antwort
pivot

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19:20 Uhr, 04.05.2021

Antworten
"In dem Fall mit der Geraden jetzt gibt es doch gar keinen solchen Tangentenpunkt"
Richtig. Es ist eine Gerade. Das ist aber nichts ungewöhnliches. Es muss nicht immer genau ein Punkt sein.

Natürlich muss es mindestens einen Punkt geben der die Bedingungen der 1. Ableitungen (Optimalitätsbedingungen) erfüllt. Können diese nicht erfüllt werden, dann gibt es keine Lösung.

Im Fall von einer Nebenbedingung und zwei unabh. Variablen ist die Lagrangfunktion

(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

mit den folgenden Optimalitätsbedingen

x=fx+λfx=0

y=fy+λgy=0

λ=g(x,y)=0

Ein mögliches Beispiel ist minx2+y3,-5-x-y=0


Frage beantwortet
Binary91

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13:47 Uhr, 06.05.2021

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Hallo pivot,

ich bin leider nicht eher dazu gekommen, mich rückzumelden.

Danke noch einmal für das Beispiel. Ich kenne den Formalismus, nur habe gerade noch ein Problem damit zu verstehen, wie er in meinem erläuterten Beispiel funktionieren kann ohne dass man prüfen muss, ob gerade ein Minimum oder ein Maximum berechnet wird...

Ich muss mir das noch ein paar Stunden anschauen, dann kommt die Erkenntnis vielleicht von selbst.

Beste Grüße
Binary91

Binary91 aktiv_icon

14:17 Uhr, 09.05.2021

Antworten
Hallo,

ich lasse dieses Thema noch einmal aufleben, da ich es noch immer nicht verstanden habe.

man betrachte noch einmal ein Beispiel in Isoquanten-Darstellung bzw. in konkreter Darstellung, wobei die zu optimierende Grundbedingung ein Paraboloid im 3D-Raum darstellt und die Nebenbedingung eine Kurve im 2D-Raum (siehe Anhänge).

Da hier die Nebenbedingung eine Variable weniger hat ist klar, dass es prinzipiell unendlich viele Lösungen gibt. Gesucht ist dann die Lösung, welche das Maximum auf der Grundbedingungs-Funktion darstellt.
Im Optimum gilt dann: Steigung der Grundbedingung = Steigung der Nebenbedingung.

Was aber, wenn die Nebenbedingung bspw. eine Gerade im Raum ist, welche genau durch das globale Maximum des Paraboloiden (der Grundbedingung) zieht, diesen Punkt quasi durchstößt? In diesem Fall müsste dann ja die Steigung der Ebenen am Schnittpunkt mit dem globalen Maximum = Null sein, was sie aber nicht ist. Dennoch erfüllt dieser Punkt beide Bedingungen. Kann hier die Lagrange-Methode überhaupt funktionieren? Man kann in diesem Fall ja nicht die Geraden auf dem Paraboloid abbilden wie im Beispiel im Anhang, da sie ja im Raum liegt und somit die Bedingungen nur am Schnittpunkt erfüllt sind, oder?

LG Binary91

#1
#2
Binary91

Binary91 aktiv_icon

14:48 Uhr, 09.05.2021

Antworten
Ich glaube zu wissen, wo mein Verständnisproblem liegt.

Wieso betrachte ich als Nebenbedingung die =0 gesetzte Nebenbedingungsfunktion?

Mal angenommen, die Grundfunktion ist besagter, auf dem Kopf stehender Paraboloid (ergo globales Maximum "ganz oben") und die Nebenbedingung ist ebenfalls ein Paraboloid, der aber nicht auf dem Kopf steht (ergo globales Minimum "ganz unten"). Diese beiden Paraboloiden sind so im Raum verschoben, dass sie eine Schnittkurve bilden.

Jetzt muss das Optimierungsproblem ja irgendwo auf dieser Schnittkurve im Raum liegen. Diese Schnittkurve entspricht doch aber NICHT jener Schnittkurve, die entsteht wenn man die =0-gesetzte Nebenbedingung betrachtet und diese auf der Grundfunktion abbildet, denn diese wäre ja lediglich ein Punkt, und zwar das globale Minimum.

Kann mir das jemand erklären?