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Lagrange Verständnisfrage Isoquanten
Universität / Fachhochschule
Grenzwerte
Tags: Grenzwert
 
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Hallo zusammen, ich habe eine Verständnisfrage zum Lagrange-Formalismus. Visuell veranschaulicht hat unser Dozent den Algorithmus anhand einer Grundfunktion in Form eines umgekehrten Paraboloiden (also mit globalem Maximum) und einer Nebenbedingung in Form einer 2D-Kurve. Nun hat er das bekannte Schaubild der Isoquanten gezeigt, welche sich zum Ursprung konkav der zum Ursprung konvexen Nebenbedingungskurve verhalten. Gesucht ist nun der Berührpunkt der beiden Kurven, da dieser ja das "höchste" Niveau, also die größte Isoquante des Paraboloiden darstellt. Was ist denn nun aber in einem Fall, in dem die Nebenbedingungskurve so ausladend groß verläuft dass deren Maximum bereits hinter dem Maximum des Paraboloiden liegt? In diesem Fall nehmen die Isoquanten ja bereits wieder ab in Richtung Maximum! Habe ich einen Denkfehler? Theoretisch müsste so ein Fall doch möglich sein. Falls ja, dann müsste doch immer auch geprüft werden, ob die Isoquanten auch tatsächlich an Niveau gewinnen, wenn die Nebenbedingung maximiert wird... Vielen Dank bereits vorab für eure Rückmeldungen. LG Binary91 Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Hallo, ich mache es mal ein bisschen konkreter: Zu maximierende Funktion: . Mit der Restriktion . Jetzt zeichnet man die Restriktion in ein x,y-Diagramm (siehe Bild). Und ebenfalls für verschiedene Niveaus von den Graph eine. Prinzipiell gibt es da erst einmal keine Einschränkung nach oben. Man sucht jetzt das maximale Niveau bei dem gerade noch von berührt wird. Wo siehst du denn jetzt konkret Probleme? Gruß pivot  |
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Hallo pivot, erst einmal vielen Dank für Deine Rückmeldung. Bei Deiner Abbildung passt mein Beispiel wahrscheinlich nicht, da je weilter in Richtung Ursprung man gehen würde, desto höher wäre das Niveau. Nimm mal mein Beispiel mit dem umgedrehten Paraboloid. Da existiert irgendwo das Maximum. Jetzt ist die Restriktion eine Kurve konvex zu den Isoquanten (siehe Anhang). Hier macht es Sinn, dass das bedingungs-abhängige Maximum ein Berührpunkt zwischen der Restriktion und einer Isoquante ist, da die Isoquanten nach links ja bergauf gehen. Was aber, wenn eben jene Kurve im Bild "links" des Maximums lägen oder sie lägen rechts davon aber die Restriktion wäre nicht konvex sondern konkav. In beiden Fällen würde ja nicht mehr der Berührpunkt mit dem Maximum der Restriktion die höchste Isoquante sein, sondern eines der beiden "Enden" der Kurve, quasi deren Ränder. Oder sehe ich das falsch?  |
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Ich würde mal vorschlagen du suchst dir ein konkretes Beispiel wo du glaubst das es nicht funktioniert. Das kann man dann auch analysieren. |
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Also, ganz stupide: Diese Funktion sollte ja ungefähr so aussehen wie die blauen Isoquanten in der Abbildung meines letzten Beitrags. Jetzt sei die Restriktion einfach eine Gerade durch den Ursprung: Wie möchte man da jetzt Berühungspunkte finden, wenn die Restriktion ugf. orthogonal zu den Isoquanten verläuft? Ein anderes Beispiel wäre eine Restriktion wie diejenige rote Kurve aus der Abbildung, welcher aber konkav anstatt konvex verläuft. Auch hier wäre der Berührpunkt ja eher die Richtung mit den niedrigen Isoquanten-Niveaus. Für das Maximum müsste ich ja dann eher die Ränder der Restriktionskurve anschauen... |
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Soweit ich das sehe verlaufen die Isoquanten nicht orthogonal zu der zu maximierenden Funktion, sondern die zu maximierende Funktion liegt bei direkt auf . Somit haben sowohl die Nebenbedingung als auch die gleiche Steigung. Siehe beide Grafiken in 2D und 3D.   |
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Ja, in diesem Beispiel läuft jetzt die Gerade genau durch das Maximum. Aber darum geht es mir nicht. Es geht um den allgemeinen Fall. Der Dozent spricht davon, dass man nicht irgendeinen Schnittpunkt der Restriktionskurve mit den Isoquanten nehmen darf, sondern dass man den Tangentenpunkt nehmen muss, da so das höchste Niveau erreicht würde. In dem Fall mit der Geraden jetzt gibt es doch gar keinen solchen Tangentenpunkt, die Gerade zieht exakt durch das Maximum durch. Nochmal auf meine Abbildung zurück: Was wäre, wenn die gleiche Abbildung jetzt eine gespiegelte Restriktionskurve hätte, die ergo konkav zum Ursprung ist. Der Berührpunkt gibt ja dann das niedrigste Niveau an, nicht mehr das höchste Niveau. Somit müsste man doch immer prüfen, welcher Natur dieser Berührpunkt ist, oder? |
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"In dem Fall mit der Geraden jetzt gibt es doch gar keinen solchen Tangentenpunkt" Richtig. Es ist eine Gerade. Das ist aber nichts ungewöhnliches. Es muss nicht immer sein. Natürlich muss es mindestens einen Punkt geben der die Bedingungen der 1. Ableitungen (Optimalitätsbedingungen) erfüllt. Können diese nicht erfüllt werden, dann gibt es keine Lösung. Im Fall von einer Nebenbedingung und zwei unabh. Variablen ist die Lagrangfunktion mit den folgenden Optimalitätsbedingen Ein mögliches Beispiel ist |
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Hallo pivot, ich bin leider nicht eher dazu gekommen, mich rückzumelden. Danke noch einmal für das Beispiel. Ich kenne den Formalismus, nur habe gerade noch ein Problem damit zu verstehen, wie er in meinem erläuterten Beispiel funktionieren kann ohne dass man prüfen muss, ob gerade ein Minimum oder ein Maximum berechnet wird... Ich muss mir das noch ein paar Stunden anschauen, dann kommt die Erkenntnis vielleicht von selbst. Beste Grüße |
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Hallo, ich lasse dieses Thema noch einmal aufleben, da ich es noch immer nicht verstanden habe. man betrachte noch einmal ein Beispiel in Isoquanten-Darstellung bzw. in konkreter Darstellung, wobei die zu optimierende Grundbedingung ein Paraboloid im 3D-Raum darstellt und die Nebenbedingung eine Kurve im 2D-Raum (siehe Anhänge). Da hier die Nebenbedingung eine Variable weniger hat ist klar, dass es prinzipiell unendlich viele Lösungen gibt. Gesucht ist dann die Lösung, welche das Maximum auf der Grundbedingungs-Funktion darstellt. Im Optimum gilt dann: Steigung der Grundbedingung = Steigung der Nebenbedingung. Was aber, wenn die Nebenbedingung bspw. eine Gerade im Raum ist, welche genau durch das globale Maximum des Paraboloiden (der Grundbedingung) zieht, diesen Punkt quasi durchstößt? In diesem Fall müsste dann ja die Steigung der Ebenen am Schnittpunkt mit dem globalen Maximum = Null sein, was sie aber nicht ist. Dennoch erfüllt dieser Punkt beide Bedingungen. Kann hier die Lagrange-Methode überhaupt funktionieren? Man kann in diesem Fall ja nicht die Geraden auf dem Paraboloid abbilden wie im Beispiel im Anhang, da sie ja im Raum liegt und somit die Bedingungen nur am Schnittpunkt erfüllt sind, oder? LG Binary91   |
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Ich glaube zu wissen, wo mein Verständnisproblem liegt. Wieso betrachte ich als Nebenbedingung die gesetzte Nebenbedingungsfunktion? Mal angenommen, die Grundfunktion ist besagter, auf dem Kopf stehender Paraboloid (ergo globales Maximum "ganz oben") und die Nebenbedingung ist ebenfalls ein Paraboloid, der aber nicht auf dem Kopf steht (ergo globales Minimum "ganz unten"). Diese beiden Paraboloiden sind so im Raum verschoben, dass sie eine Schnittkurve bilden. Jetzt muss das Optimierungsproblem ja irgendwo auf dieser Schnittkurve im Raum liegen. Diese Schnittkurve entspricht doch aber NICHT jener Schnittkurve, die entsteht wenn man die =0-gesetzte Nebenbedingung betrachtet und diese auf der Grundfunktion abbildet, denn diese wäre ja lediglich ein Punkt, und zwar das globale Minimum. Kann mir das jemand erklären? |
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Hallo zusammen, ich habe noch einmal eine Rückfrage zu diesem Thema, welches mir einfach keine Ruhe lassen möchte. Ich kann meine ursprüngliche Frage nun präzisieren, da ich weiß was mein Verständnisproblem ist. Bei der Lösung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen auf Schulniveau geht man bekanntermaßen wie folgt vor: Zielfunktion aufstellen Funktion der Nebenbedingung aufstellen Grenzen definieren (Randwerte) Ziel- und Nebenbedingungs-Funktionen zusammenführen Extremum der zusammengeführten Funktion berechnen Randwerte prüfen Punkt bestätigt exakt das, was ich in den vorausgegangenen Posts in diesem Thread versucht habe, zu beschreiben. Wenn ich es richtig verstanden habe, dann erhalte ich durch die Lagrange-Methode den Extremwert der zusammengesetzten Funktion. Allerdings muss doch dann immer noch die Prüfung der Randwerte erfolgen, wenn die Aufgabenstellung beispielsweise explizit das maximierte Optimum verlangt. Denn prinzipiell könnte die Nebenbedingungskurve ja auch so so auf der Zielfunktion abgebildet werden, dass der "Berührpunkt" bzw. das Extremum ein Minimum darstellt. Liege ich mit dieser Überlegung richtig oder habe ich noch immer einen Denkfehler? Ich würde mich wirklich sehr über eure Rückmeldungen freuen, denn dieses Thema ist von essentieller Bedeutung für mein Studium der Wirtschaftswissenschaften, bei dem es ständig um Optimierungsprozesse geht. Es macht keinen Spaß, Algorithmen anzuwenden, die man eigentlich gar nicht versteht... LG Binary91 |
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Ob ein Extrempunkt ein (bedingtes) Minimum oder Maximum darstell kann man unter anderem mit der geränderten Hesse-Matrix überprüfen. |
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Hallo, danke für die Rückmeldung. Ok, aber dann stimmst Du mir zu, dass die Randprüfung eigentlich schon noch erfolgen muss nach der Lagrange-Methode? Wir ermitteln ja eben lediglich das Extremum, was mir noch keine Auskunft darüber gibt, ob es wirklich der Punkt mit dem höchsten Niveau der Funktion ist, korrekt? Das wurde nämlich in der Vorlesung nie durchgeführt, auch wenn explizit Maximalwerte gesucht wurden und nicht einfach das Extremum an sich.. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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