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L'hospital mit ln und Produkt möglich?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

drmabuse aktiv_icon

15:16 Uhr, 03.09.2018

Hallo,

folgende Aufgabe:

ich soll den Grenzwert mit L'hospital bestimmen:

lim_{x \to 1} ln (1 - x) \cdot ln (x)

Also normalerweise kann man L'hospital nur bei Brüchen verwenden. KAnn ich das hier auch als Gleichung behandeln und einfach

: ln (x)

rechnen?

Dann hätte ich aber das Problem, dass im Zähler

ln (1 - 1)

nicht geht. Wie löse ich dieses Aufgabe?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Roman-22

15:20 Uhr, 03.09.2018

>

Also normalerweise kann man L'hospital nur bei Brüchen verwenden.
Dann verwandle eben das Produkt in einen Bruch - du hast dafür zwei Möglichkeiten

\to a \cdot b = \frac{a}{\frac{1}{b}} = \frac{b}{\frac{1}{a}}

>

KAnn ich das hier auch als Gleichung behandeln und einfach

: ln (x)

rechnen?
Keine Ahnung was du damit meinst und wo du da eine Gleichung sehen möchtest. Klingt aber irgendwie abenteuerlich.

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15:24 Uhr, 03.09.2018

Man kann es als Bruch so schreiben:

\frac{ln (1 - x)}{{(ln (x))}^{- 1}}

drmabuse aktiv_icon

15:52 Uhr, 03.09.2018

ok, soweit kapiert. meine nächsten Schritte sehen so aus:

lim_{x \to 1} \frac{- 1 \cdot 1 \cdot {ln (1 - x)}^{- 1}}{1 \cdot (- 1) \cdot {ln (x)}^{- 2}} = \frac{- {ln (1 - x)}^{- 1}}{- 1 \cdot {ln (x)}^{- 2}}

Abgeleitet mit Kettenregel. nur hab ich jetzt das gefühl ich drehe mich im Kreis...

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16:04 Uhr, 03.09.2018

ln (1 - x)

wird abgeleitet zu

- \frac{1}{1 - x}

{(ln x)}^{- 1}

wird zu

- 1 \cdot {(ln x)}^{- 2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{- 1}{x \cdot {(ln x)}^{2}}

drmabuse aktiv_icon

16:18 Uhr, 03.09.2018

Ich habe die Aufgabe nochmal anders gerechnet: Geht es auch so? (Das limes spar ich mir am anfang)Wenn ja dann wäre es leichter. Aber ich bin mir nicht sicher, ob man da L'hospital anwenden darf, weil ich in der drittletzten Zeile