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Grenzwerte

Tags: Grenzwert

DaraDuDariDi aktiv_icon

17:12 Uhr, 18.05.2010

Die Aufgabe scheint mir sehr kompliziert, brauche Hilfe dabei...

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin x}{x (2 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin x}{2 x + x \cos x}$

$f (x) = 3 \sin (x) f' (x) = 0 * \sin (x) + 3 \cos (x)$ nach der Produktregel abgeleitet

-------------------------------------------------------------------

$f (x) = 2 x + x \cos x f' (x) = 2 + 1 \cos (x) - x \sin (x)$ ableitung einer Summe und Produktregel

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (x)}{2 + \cos (x) - x \sin (x)}$ ..... ist das so weit richtig, brauch ich die zweite Ableitung um den

Grenzwert zu bestimmen ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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dom0112 aktiv_icon

17:18 Uhr, 18.05.2010

Hi,

beim Ausmultiplizieren kommt man im Nenner auf 2x+x*cosx, das x² ist falsch.

Gruß
D.

DaraDuDariDi aktiv_icon

17:28 Uhr, 18.05.2010

Ich habs oben korrigiert, vielen Dank sonst wäre die ganze aufgabe falsch gewesen.

Soll ich weiter die zweite Ableitung benutzen ? oder erst vereinfachen wenn ja wie ?

dom0112 aktiv_icon

17:28 Uhr, 18.05.2010

Nochmal Hi,

ich hatte noch nicht weiter gelesen, aber die erste Ableitung ist auch falsch. Hier findet nicht die Produkt- sondern die Faktorregel Anwendung, da 3 "nur" eine Konstante ist. Allerdings solltest du auch bei korrekter Anwendung der Produktregel zum Ziel kommen:

(3)' = 0

(sin x)' = cos x

(3 \cdot sin x)' = 0 \cdot sin x + 3 \cdot cos x = 3 \cdot cos x

Gruß
D.

DaraDuDariDi aktiv_icon

17:34 Uhr, 18.05.2010

ich habs noch mal korrigiert, ist jetzt alles so in ordnung?

dom0112 aktiv_icon

17:36 Uhr, 18.05.2010

meiner Ansicht nach, ja. Jetzt kannst du den Grenzwert einfach ausrechnen.

DaraDuDariDi aktiv_icon

17:41 Uhr, 18.05.2010

echt jetzt einfach die 0 für

x

einsetzen, ohne die zweite Ableitung?
stimmt ich krieg "1" raus :-)

aber wo her weiss ich jetzt das es nach der ersten Ableitung reicht und ich den
Grenzwert direkt einsetzen kann, ohne die zweite Ableitungen zu machen ?

dom0112 aktiv_icon

17:47 Uhr, 18.05.2010

ganz einfach: weil's geht! ;-)

Das ist die Regel von de l'Hospital: Wenn eine Funktion der Quotient aus zwei bestimmt divergierenden oder gg. 0 konvergierenden Funktionen

f

und

g

ist, stimmt der Grenzwert mit dem des Ausdrucks

\frac{f'}{g'}

überein. Wenn die Voraussetzungen nicht mehr erfüllt sind, darfst du die Regel gar nicht anwenden! Etwas anderes ist es, wenn nach der ersten Ableitung wieder ein unbestimmter Ausdruck entsteht.

DaraDuDariDi aktiv_icon

17:50 Uhr, 18.05.2010

achsoooo okey werde es mir merken vielen vielen dank für die Hilfe

\land

dom0112 aktiv_icon

17:54 Uhr, 18.05.2010

ein Fehler ist mir noch aufgefallen: in deinem vorletzten Posting schreibst du was von "Grenzwert einsetzen", das ist nicht richtig: Den Grenzwert bekommst du raus, in deinem Fall 1. was du einsetzt ist die Stelle, an der du den GW bestimmen willst.

Mathe ist eben eine exakte Wissenschaft... ;-)

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