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Limes superior und Limes inferior Definition

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Grenzwert

Martinbald aktiv_icon

14:06 Uhr, 07.12.2014

Hallo, mein Problem ist folgendes.
Ich habe schwierigkeiten die Definition von Limes superior und Limes inferior zu verstehen.Immoment Verbinde ich damit nur, dass es die Größten und kleinsten Häufungspunkte einer Folge beschreibt .

Dies ist die Defintion aus unserer Vorlesung.
------------------------------------------------
Es sei

(x_{n})

eine Folge in

ℝ

. Für

n \in ℕ

setzen wir

y_{n} := s u p_{k \geq n} x_{k} := s u p {x_{k} ∣ k \geq n}

z_{n} := i n f_{k \geq n} x_{k} := i n f {x_{k} ∣ k \geq n}

Dann ist

(y_{n})

eine monoton fallende Folge und

(z_{n})

eine monoton fallende Folge in

\bar{ℝ}

Also existiert

\underset{n \to \infty}{limsup} x_{n} := lim_{n \to \infty} (s u p_{k \geq n} x_{k})

(Limes superior)

\underset{n \to \infty}{limsup} x_{n} := lim_{n \to \infty} (i n f_{k \geq n} x_{k})

(Limes inferior)

in

\bar{ℝ}

.
-------------------------------------------------

Was bedeutet das

s u p {x_{k} ∣ k \geq n}

?
Ist dort das Supremum von der Menge, eines jeden Folgenglied, der Folge

x_{k}

gesucht, wo gilt

k \geq n

.
Was ist die Folge

x_{k}

?
Und wieso ist

y_{n}

eine monoton fallende Folge . Es wird doch die kleinste Obere Schranke gesucht.
Und wie kann

s u p {x_{k} ∣ k \geq n}

eine Folge sein?.

Wäre nett wenn mir einer diese Definition erklären könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Shipwater aktiv_icon

14:22 Uhr, 07.12.2014

Für beschränkte Folgen gilt die Verbindung von Limes Superior und Limes Inferior mit größtem und kleinstem Häufungspunkt. Unbeschränkte Folgen müssen nichtmal einen Häufungspunkt besitzen.

(x_{k})

ist eine beliebige Folge und dann kannst du dir halt eine neue Folge durch

y_{n} := s u p {x_{k} | k \geq n}

definieren. Dann ist

y_{1} = s u p {x_{1}, x_{2}, x_{3}, ...}

und

y_{2} = s u p {x_{2}, x_{3}, ...}

etc. Hier sieht man auch gut, dass diese Folge monoton fallend ist, denn die Menge über die das Supremum gebildet wird, wird ja mit jedem Schritt "kleiner".

Martinbald aktiv_icon

15:52 Uhr, 07.12.2014

Vielen Dank für die Antwort die hat mir sehr viel weiter geholfen. Hab jetzt geschnallt ,dass

s u p {x_{k} ∣ k \geq n}

die Folge

y_{n}

definiert. Dachte immer da kommt nur ein Wert raus uns das wars.

Es wird also bei der Folge

y_{n}

für jedes

n

ein Supremum gebildet
von allen Folgengliedern

x_{k}

ab diesem Indiz

n

.
Somit wird die Menge über die das Supremum gebildet wird immer kleiner mit steigendem n.
Somit wird der Wert des Supremums (ein Folgendglied aus

y_{n}

) mit steigendem n kleiner oder bleibt gleich.
Je nach dem welche Werte rausfallen bei der Folge

x_{k}

wenn die gebildete Menge ,woraus das Supremum bestimmt wird, kleiner wird.

Deswegen ist

y_{n}

Monoton fallend.
Und wenn man den Grenzwert von

y_{n}

betrachtet , und somit

n \to \infty

läuft,
ist

k = \infty

bei der Menge

s u p {x_{k} ∣ k \geq n}

,da nur

\infty \geq \infty

ist.
Betrachtet man dort dann den Grenzwert der Folge

x_{k}

mit

k \to \infty

?

Und der grenzwert der Folge

y_{n}

ist der Limes superior von

y_{n}

.

Ist das Richtig?

Shipwater aktiv_icon

16:10 Uhr, 07.12.2014

(x_{k})

muss ja nichtmal einen Grenzwert besitzen, das ist das tolle!
Nehme doch mal

x_{k} = {(- 1)}^{k}

als Beispielfolge. Nun ist

y_{n} = s u p {{(- 1)}^{k} : k \geq n} = 1

für jedes

n \in ℕ

(mach dir das klar) also auch

lim_{n \to \infty} y_{n} = 1

. Man schreibt:

l i m s u p_{n \to \infty} x_{n} = 1

Martinbald aktiv_icon

16:59 Uhr, 07.12.2014

Jo stimmt

x_{k} = (- 1)^{k}

hat keinen Grenzwert. Erst wenn man sich bei jedem

n

, der Folge,
das Supremum nimmt und dann mit allen Suprema zusammen die Folge bildet. Und da das Supremum einer Folge die zwischen 1 und -1 pendelt, immer 1 ist , sind alle gebildeten Supremums auch 1. Die Folge besteht nur aus Einsen und diese hat dann den Grenzwert 1.

Die Folge

x_{n}

ist bei deinem Beispiel dann

x_{n} := (- 1)^{n}

und

x_{k} = (- 1)^{k}

. Also quasi nur das n mit k ersetzt. Dann wäre

y_{1} = s u p {x_{k} ∣ k \geq 1} = s u p {x_{n}}

Also ist

y_{1}

das Supremum der Folge

x_{n}

. Wäre dies nicht schon der Limes superior von

x_{n}

?
Was ist geanu der Unterschied zwischen dem Supremum einer Folge und dem Limes superior einer Folge?

Shipwater aktiv_icon

17:02 Uhr, 07.12.2014

Nimm dir die Folge

{(a_{k})}_{k \in ℕ}

definiert durch

a_{1} = 100

und

a_{k} = {(- 1)}^{k}

für

k \geq 2

. Dann ist

s u p {a_{k} : k \in ℕ} = 100

aber

l i m s u p_{k \to \infty} a_{k} = 1

Martinbald aktiv_icon

18:07 Uhr, 07.12.2014

Jo bei deinem Beispiel sieht man ,dass der Limes superior nicht unbedingt das Supremum der Folge sein muss.

y_{n}

wäre bei dem Beispiel dann

y_{n} = {100, 1, 1, 1, 1, 1 . . . .}

und der Grenzwert von

y_{n}

dann 1.
Und dies ist dann ja der Limes superior .
Das Supremum von

x_{n} = 100

wäre ja nicht mal Häufungspunkt sondern eigentlich nur das Surpemum ^^.

Zusammenfassend kann man also sagen , dass zu einer Folge

x_{n}

eine neue Folge definiert wird z.b

y_{n}

.

Jedes Folgeglied von

y_{n}

stellt dann das Supremum, von allen Folgenglieder, ab dem folgenglied

x_{n}

dar.
(

y_{1}

ist das Supremum von allen Folgenglieder ab

x_{1}

usw.)

Diese Folge ist Monoton fallend und der Grenzwert dieser Folge ist der Limes superior von

x_{n}

Shipwater aktiv_icon

18:11 Uhr, 07.12.2014

Bei Bedarf kannst du noch hier lesen: (da gibt es auch ein Bild zur ganzen Geschichte)
http//de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior

Martinbald aktiv_icon

18:30 Uhr, 07.12.2014

Jo danke. Hatte mir ,dass schon vorher angeschaut gehabt. Hatte anfangs nicht verstanden wieso die Rote Linie bei

n = 0

nicht auch bei 0 anfängt . Jetzt weiß ich ,dass dort ja das Supremum von der ganzen Folge gesucht ist und somit die Linie auch dort anfängt bei 1,7 ungefähr.
Vielen dank auf jeden Fall für deine Hilfe. Jetzt ist mir die Definition meiner Meinung nach klar und den Wikipedia Artikel kann ich jetzt gut verstehen.
Wünsch dir noch einen schönen Abend Shipwater.

PS:
Noch als kleine Korrektur meiner Definition oben.
-

(z n)

eine monoton

S t e i g e n d e

Folge
-und beim Limes inferior sollte stehen

l i m i n f

Shipwater aktiv_icon

19:32 Uhr, 07.12.2014

Schön, dass dir der Begriff klarer geworden ist.

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