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Limes superior und Limes inferior berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionalanalysis

Funktionenfolgen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Grenzwert

DerFuchs1337 aktiv_icon

11:10 Uhr, 14.04.2016

Hallo liebe Community, ich muss zu den Folgen jeweils limes inferior und limes superior bestimmen.

a) x n = \frac{n^{2}}{n^{2} + 1} \cdot cos (\frac{2 Π n}{3})

Vorgehensweise: ich schreibe erst allgemein die Folgenglieder auf, dann schaue ich für welche Folgenglieder ich bestimmte Teilfolgen ableiten kann

\Rightarrow z . B

. für jedes zweite Folgenglied etc.

also

x n = (- 0.25, - 0.4, 0.9, - 0.47, . .) \Rightarrow

Schema?

Hier kann ich noch keine Regelmäßigkeit ableiten. Wir hatten bereits einmal in einer Übung besprochen, dass man bei Cosinus 6 Teilfolgen betrachten muss, aber mir war nicht ganz ersichtlich wieso. Ist das hier auch so, und wenn ja, welche Teilfolgen sind das? Wir wissen ja bereits, dass Cos immer zwischen

[1,0, - 1]

pendelt.

b) x n = 3 (1 - \frac{1}{n}) + 2 {(- 1)}^{n}

Hier ist es ziemlich offensichtlich.
Folgenglieder

x n = (- 2, 3 \frac{1}{2}, 0, 4 \frac{1}{4}, 0.4, . .

. )

Nun betrachte ich 2 Teilfolgen. Einmal für alle

n

∈

N

die gerade sind, und dann für die ungeraden.

D . h

x σ 1 (n) = 2 n

und

x σ 2 (n) = 2 n - 1

dann folgt für

x σ 1 (n) = (3 \frac{1}{2}, 4 \frac{1}{4}, 0.4, 0.57 .

, 0.66 .

, 0.72 . ., .

, 0.94 .

, . .) \Rightarrow

Häufungswert

= 1

und für

x σ 2 (n) \Rightarrow

Häufungswert

= 5

Da die Folge zwei Häufungswerte hat, divergiert sie. Nun muss ich noch zeigen, dass diese Häufungswerte tatsächlich existieren bzw der Lim sup/Lim inf.
Wir gehen da so vor, dass wir zeigen, dass die Folge beschränkt ist.

Annahme

: lim

inf

= 1

und

lim \supset = 5

Ich versuche dies mit Induktion. Annahme:

x σ 2 (n)

ist nach oben durch 5 beschränkt.
(IA)

x 1 = - 2

also

x 1 \leq 5

.
außerdem gilt

x σ 1 (n + 1) \leq 5

und

x σ 1 (n + 1) > x σ 1 (n)

x 1 = - 2, x 1 \leq 5

x 2 = 0, x 2 \leq 5

hier komme ich dann nicht weiter. Dann müsste im Induktionsschritt noch gezeigt werden, dass es auch für

n + 2

gilt( würde

n + 1

auch reichen mit dem IA

x 1 \leq 5

? )
Mich verwirrt hierbei die Teilfolge

x σ 1 (n)

. Wie zeige ich das in Abhängigkeit von dieser? oder einfach normal xn betrachten? Hatte die Idee, es erst mit

x σ 1 (n)

mit der Beschränktheit

\leq 5

zu zeigen und dann mit der anderen für

\leq 0 .

. ?

c) x 2 n - 1 := \frac{1}{2^{k}}

falls

k = 2 n - 1

und

x 2 n - 1 := 2^{k} - \frac{1}{2^{k}}

falls

k = 2 n

Folgenglieder

x 2 n - 1 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{15}{16}, . .)

Betrachte 2 Teilfolgen (bereits oben gegeben)

für

k = 2 n - 1

sind die Folgenglieder

(\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{32}, . .) \Rightarrow

Häufungswert

= 0

für

k = 2 n

sind die Folgenglieder

(\frac{3}{4}, \frac{15}{16}, \frac{63}{64}, ...) \Rightarrow

Häufungswert

= 1

also divergiert die Folge. Auch hier: wie kann ich das jetzt noch beweisen?
Annahme:

lim \supset = 1

lim

inf

= 0

d) x n = \frac{1}{n + 3.2}

Hier ist offensichtlich, dass die Folge gegen 0 konvergiert,

d . h

sie besitzt genau einen Häufungswert

h = 0

. Auch hier habe ich dennoch wieder 2 Teilfolgen für gerade und ungerade

n

eingeteilt, dass ist aber hier überflüssig, oder ?

Aber wo liegt dann

lim \supset

? bei

n = 1

?

und

lim

inf vermute ich bei

n = 0

P . s :

Muss dann bei

d

zusätzlich noch gezeigt werden, dass

x n

tatsächlich konvergent ist mit

ε

beweis?

Danke für eure Hife :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Respon

11:19 Uhr, 14.04.2016

cos

"pendelt" zwischen

- 1

und 1 und

lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} + 1} = 1

DrBoogie aktiv_icon

11:20 Uhr, 14.04.2016

"Cosinus 6 Teilfolgen betrachten muss, aber mir war nicht ganz ersichtlich wieso"

Weil

\cos (x + 2 π) = \cos (x)

.
Also in diesem Fall braucht man nur 3 Teilfolgen,
denn

\cos (\frac{2 π (3 n + 1)}{3}) = \cos (\frac{2 π}{3})

\cos (\frac{2 π (3 n + 2)}{3}) = \cos (\frac{4 π}{3})

und

\cos (\frac{2 π (3 n)}{3}) = \cos (0) = 1

DerFuchs1337 aktiv_icon

11:44 Uhr, 14.04.2016

Ok danke. Sind das dann die drei Teilfolgen für Teilaufgabe

a)

x

σ1

(n) = 3 n

also

\frac{3 n^{2}}{3 n^{2} + 1} \cdot 1

x

σ2

(n) = 3 n + 1

also

\frac{{(3 n + 1)}^{2}}{{(3 n + 1)}^{2} + 1} \cdot cos (2

/ 3)

x

σ3

(n) = 3 n + 2

also

\frac{{(3 n + 2)}^{2}}{{(3 n + 2)}^{2} + 1} \cdot cos (4

/ 3)

Die 3 Teilfolgen wählen wir, weil Cosinus immer zwischen drei Werten pendelt oder warum ? Wenn die Teilfolgen richtig sind, dann noch die Häufungswerte der einzelenen Teilfolgen bestimmen und dann

lim \supset

und

lim

inf, richtig?

DrBoogie aktiv_icon

11:53 Uhr, 14.04.2016

"Die 3 Teilfolgen wählen wir, weil Cosinus immer zwischen drei Werten pendelt"

Ja.

"Wenn die Teilfolgen richtig sind, dann noch die Häufungswerte der einzelenen Teilfolgen bestimmen"

Ja, aber in diesem Fall sind Teilfolgen konvergent. Das ergibt insgesamt drei Häufungspunkte für die Originalfolge, man muss dann nur den maximalen und den minimalen von drei finden, das wird dann limsup und liminf.

DerFuchs1337 aktiv_icon

13:21 Uhr, 14.04.2016

Ok danke!!! :-) ich schau es mir später daheim nochmal an und versuche die Aufgabe zu lösen. Sieht mein Vorgehen für die anderen Folgen bisher gut aus?

DrBoogie aktiv_icon

10:47 Uhr, 15.04.2016

Du machst zum Teil unnötige Sachen.
Z.B. das hier in der 2. Aufgabe: "Wir gehen da so vor, dass wir zeigen, dass die Folge beschränkt ist."
Das brauchst Du gar nicht. Wenn Du eine Folge in zwei Teilfolgen aufgeteilt hast, die beide konvergieren, dann bist Du schon so gut wie fertig. Denn Du hast nur zwei Häufungspunkte (Grenzwerte der Teilfolgen), der größere von beiden ist limsup und der kleinere liminf, mehr ist nichts zu machen.
Eine Folge, die nur endlich viele Häufungspunkte hat, ist übrigens immer beschränkt, das ist ziemlich offensichtlich. Aber die Beschränktheit brauchst Du in dieser Aufgabe auch nirgendwo.

DerFuchs1337 aktiv_icon

16:36 Uhr, 15.04.2016

Ah ok, ich dachte ich muss alles beweisen.

zur Folge

a)

hier habe ich die 3 Teilfolgen betrachtet

\Rightarrow

alle konvergieren gegen

1,

ist das überhaupt möglich bei cosinus???

Dann wären Limes

\supset

und Limes inf identisch mit 1.

zu b)betrachte teilfolgen für gerade

n

und ungerade

n

.

für gerade

n \Rightarrow

folge konvergiert gegen 1
für ungerade

n \Rightarrow

folge konvergiert gegen 5

wenn ich aber für die jeweiligen Teilfolgen den Grenzwert bestimme (Teilfolgen habe ich oben ja bereits angegeben) dann kommt jeweils für die gerade Teilfolge

5,

und für die ungerade 1 raus. Das kann ja nicht sein. Wenn ich die Folge plotte, sieht man dass 5 tatsächlich eine obere Schranke ist, aber die 1 kommt anscheinend nicht hin.

zu

c)

lim

inf

= 0

lim \supset = 1

ist das so korrekt? habe einfach von den beiden teilfolgen den grenzwert bestimmt.

d)

hier handelt es sich

m

eine Nullfolge also

lim

inf

= 0

und

lim \supset = 0

.

Bitte korrigiert mich :-)

danke

DrBoogie aktiv_icon

17:13 Uhr, 15.04.2016

Zu a):

"alle konvergieren gegen 1"

Definitiv nicht. Die Häufungspunkte sind

1

und

- 0.5

, denn

\cos (2 π / 3) = \cos (4 π / 3) = - 0.5

.

"zu b)betrachte teilfolgen für gerade n und ungerade n.
für gerade n⇒ folge konvergiert gegen 1
für ungerade n⇒ folge konvergiert gegen 5"

Keineswegs. Für gerade

n

konvergiert gegen

5

und für ungerade gegen

1

.

In c) schreibst Du auch etwas Komisches.

d) ist richtig.

DerFuchs1337 aktiv_icon

18:29 Uhr, 15.04.2016

Also

c)

mit xn ist nur xn, nicht

x 2 n - 1,

das war ein Druckfehler den unser Tutor dann noch korrigiert hat.

Die erste teilfolge

k = 2 n

konvergiert gegen

0,

die zweite gegen 1. also

lim

inf

= 1

und

lim \supset = 1

. Was ist daran falsch?

DrBoogie aktiv_icon

18:35 Uhr, 15.04.2016

2^{k} - \frac{1}{2^{k}}

konvergiert gegen

+ \infty

, wie kann also limsup

1

sein?
Im übrigen schreibe bitte so, dass man auch verstehen kann, was Du schreibst. Es gibt hier LaTeX-Modus dafür.

DerFuchs1337 aktiv_icon

18:39 Uhr, 15.04.2016

Ups. ich benutze normalerweise immer den formeleditor. Ich sehe gerade leider dass bei meinem ersten Post die Folge verrutscht ist.

Da muss stehen

\frac{2^{k} - 1}{2^{k}}

. Deshalb Grenzwert 1. Tschuldigung

: (

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