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Limes von Summenzeichen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Analysis, Folgen und Reihen, Grenzwert, lim

mysticlight aktiv_icon

16:55 Uhr, 28.11.2018

Hallo,

es ist eine Folge

a (n) = 9 \cdot {(\frac{1}{10})}^{k}

mit

a (k) k \in ℕ

gegeben.

Dann ist

s (n) := \sum_{k = 1}^{n} a (k)

Es soll

lim_{n \to \infty} s (n)

bestimmt werden.

Ich habe die Summe schon ausgerechnet und als Ergebnis

9 \cdot [\frac{10}{9} - \frac{1}{1}] = 1

herausgekriegt.

Ich frage mich, was ist der Unterschied zwischen der Berechnung von

lim a (k)

und

lim s (n)

? In der Folge an sich ist nur

k

drin und

lim

soll ja für

n \to \infty

gesetzt werden. Wie berechnet man das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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rundblick aktiv_icon

17:48 Uhr, 28.11.2018

.
Hallo,
es ist eine Folge

a (n) = 9 \cdot {(\frac{1}{10})}^{k}

mit

a (k) .

. k∈ℕ gegeben.

" In der Folge an sich ist nur

k

drin "

ja - da gib dir deshalb doch bitte etwas Mühe, um obige Hallo-Zeile richtig aufzuschreiben:

\to . .

.
.

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18:09 Uhr, 28.11.2018

Also es ist die Folge

a (k) = 9 \cdot {(\frac{1}{10})}^{k}

mit

a (k) k

∈

ℕ

vorgegeben.

Aufgabe ist im Bild hochgeladen.

a)

Berechnen Sie

S (n) := \sum_{k = 1}^{n} a (k)

meine Lösung:

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} 9 \cdot {(\frac{1}{10})}^{k}

Meine Lösung:

9 \cdot \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1^{k}}{10^{k}}) = . .

= 9 \cdot [\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} - 1] = 9 \cdot [\frac{10}{9} - \frac{9}{9}] = 1

b)Bestimmen Sie

lim n

→ ∞

s (n)

Und hier komme ich nicht weiter. Wie berechne ich

lim

für

n

unendlich, wenn in der Folge

a (k)

gar kein

n

drin ist. Nur im Summenzeichen ist ein

n

als bis-Wert drin. Wahrscheinlich ist das eine sehr dumme Frage aber ich weiß da echt nicht weiter. Bis jetzt hatten wir nur

lim

Rechnung mit Variable

n

in der Folge.
Und was ist der Unterschied zwischen der Berechnung von

lim a (k)

und

lim s (n)

rundblick aktiv_icon

18:45 Uhr, 28.11.2018

.
also: du hast eine geometrische Folge gegeben

a (k) = 9 \cdot {(\frac{1}{10})}^{k} . .

= 9 \cdot b (k) . .

. mit

b (k) = {(\frac{1}{10})}^{k}

und sollst bei

(I)

erst mal die Summe

\to

der ersten

n

Glieder dieser Folge berechnen

\to s (n) = 9 \cdot \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{1}{10})}^{k} = 9 \cdot [b (1) \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}] = 9 \cdot [\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{n}}{1 - \frac{1}{10}}] = . .

.

diese Formel für die n-te Teilsumme

(b (1) = \frac{1}{10} . .; .

q = \frac{1}{10})

findest du in jeder Formelsammlung

. .

. wie du siehst

\to

sie ist von

\to n

abhängig

!! .

. also nicht wie du meinst gleich 1

. .

. und damit ist dein Problem :
->"Bis jetzt hatten wir nur

lim

Rechnung mit Variable

n

in der Folge" wohl erledigt ?!?

... ... . .

. und bei Aufgabenteil (II) sollst du nun den Grenzwert dieser n-ten Teilsumme berechnen

\to

s = lim_{n \to \infty} s (n) = 9 \cdot [b (1) \cdot \frac{1}{1 - q}] = .

. ..

(\to

siehe Formelsammlung

!)

ok?

. .

. bleibt jetzt noch Teil (III)

. .

. was meinst du dazu?

\to .

.
.

mysticlight aktiv_icon

21:05 Uhr, 28.11.2018

Danke sehr für die Hilfe

ja die (iii) habe ich die Werte

1, 2, 3, 10

für

n

bei

s (n)

eingesetzt und rechne mir die Dezimalzahlen heraus. Und die bekannte Aussage ist die geometrische Reihe

rundblick aktiv_icon

23:04 Uhr, 28.11.2018

.
"Und die bekannte Aussage ist die geometrische Reihe.."

\to

na, da hast du wohl den Kern der erwarteten Aussage aber voll verfehlt ..

s (1) = 0,9

s (2) = 0,99

s (3) = 0,999

s (4) = 0,9999

.
.

s (10) =

?
.
.

\to lim_{n \to \infty} s (n) = 0, \bar{9} =

??!

hm ? ! ?
.

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