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Limes x gegen 0

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

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12:35 Uhr, 28.06.2017

Hallöchen,
ich bräuchte eure Hilfe bei dieser Aufgabe. Also zu bestimmen ist

lim_{x \to 0} f (x) g (x)

wobei

f : ℝ \to ℝ : x \mapsto sinh (\sqrt[3]{2} \cdot x) - \sqrt[3]{2} \cdot x

g:RR\

{

\to ℝ : x \mapsto x^{- 3}

Also

d . h

es wird gesucht:

lim_{x \to 0} \frac{sinh (\sqrt[3]{2} \cdot x) - \sqrt[3]{2} \cdot x}{x^{3}}

Wenn ich jetzt 0 einsetze dann kommt da im Nenner und Zähler null raus, da

sinh (\sqrt[3]{2} \cdot x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{\sqrt[3]{2} \cdot x} - e^{- \sqrt[3]{2} \cdot x}) - \sqrt[3]{2} \cdot x = 0

ist wenn man für

x = 0

setzt. Also da im Nenner und Zähler null rauskommt, kann ich ja die l´Hospital regel anwenden. Ich hab den Zähler und den Nenner abgeleitet, da kommt dann raus:

lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt[3]{2}) \cdot (cosh (\sqrt[3]{2} \cdot x) - 1)}{3 x^{2}}

. Und das ist ja umgeschrieben:

\frac{(\sqrt[3]{2}) \cdot ((e^{\sqrt[3]{2} \cdot x} + e^{- \sqrt[3]{2} \cdot x}) - 1)}{3 x^{2}}

. Aber ich komm hier nicht weiter. Im Nenner kommt ja wieder null raus. Mit was kann ich den Bruch erweitern?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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anonymous

12:46 Uhr, 28.06.2017

Hallo
Ich habe nicht alles nachvollzogen. Es könnte aber richtig sein.
l'Hospital kann man anwenden, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs

>

gegen Null

>

oder gegen Unendlich streben.
Du hast schon erkannt und praktiziert, dass das für die Original-Aufgabenstellung gilt.
Tipp:
Gilt das vielleicht auch für deinen letzteren Zwischenausdruck?
Wenn ja, dann