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Lineare Algebra

Schüler

Tags: Beweis

Randolph Esser aktiv_icon

12:25 Uhr, 15.10.2026

Hallo, letzte noch nicht KI-gesteuerte Humanoide,

folgende Aufgabe:

Es seien

V

ein K-Vektorraum und

U_{1}, U_{2}

UVR von V.
Zeigen Sie: Gilt

U_{1} \cup U_{2} = V,

so gilt

U_{1} = V

oder

U_{2} = V

.

Meine Antwort:
Angenommen, es wäre nicht so, also

U_{1} \cup U_{2} = V,

aber

U_{1} \neq V

und

U_{2} \neq V

.
Dann gibt es

x, y \in V

mit

x \notin U_{1}

und

y \notin U_{2}

.
Wegen

U_{1} \cup U_{2} = V

gilt zudem

x \in U_{2}

und

y \in U_{1}

sowie

x + y \in U_{1}

oder

x + y \in U_{2}

.
Gilt

x + y \in U_{1},

erhalten wir den Widerspruch

x = (x + y) - y \in U_{1},

und gilt

x + y \in U_{2},

erhalten wir den Widerspruch

y = (x + y) - x \in U_{2}

.
Also ist die Annahme falsch
und es folgt die Behauptung.

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Wie findet ihr meine Bearbeitung ?

Aufhänger ist übrigens ein LinA-Lehrwerk,
welches ich gerade wiederhole.
Es ist das Lehrwerk, mit dem ich vor

15

Jahren begann,
"richtig" Mathe zu lernen, und ich muss aus heutiger
Sicht leider sagen, dass es das denkbar schlechteste
Lehrwerk war, um das zu tun.
Der Verfasser schwafelt gerne und macht ständig einen
auf dicke Hose. Auch fehlt dem Buch die Stringenz.
So behauptet er bei obiger Aufgabe

z . B .,

man könne die Lösung in drei Zeilen hinschreiben...

Anbei die Original-Aufgabenstellung
mit einer alten, recht rotzigen Lösung von mir
(er wollte ja drei Zeilen).

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Punov aktiv_icon

16:59 Uhr, 15.10.2026

Hallo,

der Beweis ist korrekt und kann, wenn man möchte, in drei Zeilen notiert werden. Wo "schwafelt" der Autor also? Zumindest bei der Fragestellung sehe ich das nicht; das ist typische Lehrbuchsprache.

Viele Grüße

Punov

Randolph Esser aktiv_icon

17:15 Uhr, 15.10.2026

Hallo Punov,

vielen Dank für Deine Bestätigung meiner Bearbeitung.
In obiger Aufgabenstellung selbst schwafelt der Autor nicht,
das stimmt, aber er tut es oft an anderen Stellen seines Werkes.
Den Satz, dass man das in drei Zeilen erledigen kann,
hätte er sich meiner Meinung nach auch verkneifen können...

Aber mal davon abgesehen: Wie sähe denn Dein Dreizeiler dann aus ?
Das würde mich mal interessieren.

Punov aktiv_icon

17:22 Uhr, 15.10.2026

Naja, das kommt darauf an, wie sehr man es formalisieren möchte. Es sollte ja noch einigermaßen lesbar bleiben und daher nicht nur aus Quantoren usw. bestehen, womit man es sicher auch zu einem Zwei- oder gar Einzeiler machen könnte (DAS wäre dann tatsächlich "auf dicke Hose" gemacht).

Beweis:

Sei

U_{1} \neq V, U_{2} \neq V

, dann ex.

v_{1} \in U_{1} \ U_{2}, v_{2} \in U_{2} \ U_{1}

.

Da

v := v_{1} + v_{2} \in U_{1} \cup U_{2} = V

, folgt (1)

v \in U_{1}

oder (2)

v \in U_{2}

.

Aus (1) folgt

v_{2} = v - v_{1} \in U_{1}

, aus (2) analog, dass

v_{1} \in U_{2}

. Widerspruch

Randolph Esser aktiv_icon

18:15 Uhr, 15.10.2026

Super, vielen Dank.

Sowas wie "

v_{1} \in U_{1} \ U_{2}

" zu schreiben,
hatte ich auch überlegt, aber ein "Ersti"
(so nennt man an der Uni liebevoll die Studienanfänger),
der sich so knackig fasst, läuft Gefahr, dass in der
Korrektur dann ein rotes "Warum ?" daneben steht.
Man bemängelt dann also, dass er zuwenig erklärt hat.
Deswegen ist das immer so ein Eiertanz,
einen schönen, stringenten Beweis zu schreiben
und gleichzeitig auch nicht zu großschrittig vorzugehen...

Und daher finde ich den Spruch mit dem Dreizeiler
auch ein wenig gonzig: Ein Anfänger sollte doch
überhaupt erstmal irgendeinen korrekten Beweis
formulieren und der kann dann auch ruhig etwas
länglich sein...

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