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Lineare Algebra - Beweismethode !
Universität / Fachhochschule
Tags: Beweis, Lineare Algebra
 
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Hallo zusammen, habe leichte Schwierigkeiten den Beweis den ich heute präsentiert bekommen habe, ganz nach zu vollziehen! Es geht im allgemeinen um lineare Gleichungssysteme, Als Lösungsmöglichkeiten hatten wir ; genau eine Lösung, keine Lösung und unendlich viele Lösungen! Nun haben wir die Frage im Raum gehabt, kann ein lineares Gleichungssystem 2 verschiedene Lösungen haben? Das System haben wir als System bezeichnet, also 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Aufgestellt haben wir! ax+by=e Annahme, es gibt 2 Lösungen! cx+dy=f und Für (A) Warscheinlich habe ich hier schon Verständnisprobleme! Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist unsere angegebenen Bedingung, also das wir 2 Lösungen bekommen damit dargestellt, das anstatt wie im "Normalfall" für die Methode geschreiben wird!Stimmt meine Ansicht? :-) Weiter haben wir angeführt, das wenn und Lösungen sind, dann ist auch und mit Element aus den reellen Zahlen eine Lösung?! Wird nun angenommen, das wenn es 2 Lösungen geben kann, muss es aus 3 oder mehr geben? woher kommen die Bedingungen; ?? Um alles schonmal zu nennen haben wir weiter angeführt; und und für dann ausgeklammert für at bt und weiter und soll null sein, was ich wohl auch noch nicht recht verstehe! Wobei wir den Term als definiert haben! :-) Weiter mit wo kommt das nun her? weiter wobei die einzelnen Terme und jeweils als 0 definiert wurden! Vielleicht kann mir ja Jemand etwas dabei helfen den Beweis zu verstehen! VLG Basti |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Das ist ein indirekter Beweis. Die Idee dabei geht so: Man will zeigen, dass es kein lin. Gleichungssystem gibt, das genau 2 verschiedene Lösungen hat, also auch nicht mehr als 2. Zum Beweis nimmt man mal an, das Gegenteil würde stimmen, es gibt also so ein System mit den beiden Lösungen A und B. Dann schreibt man auf, was das für Konsequenzen hat und formt das so lange um, bis sich ein Widerspruch ergibt. Wenn das Gegenteil der ursprünglichen Behauptung aber auf einen Widerspruch führt, muss die Behauptung richtig sein. So, jetzt im konkreten Fall. Man nimmt also an, das Gleichungssystem habe die beiden Lösungen und . Wenn das Lösungen sein sollen, kann man die und Werte in die Gleichungen einsetzen und erhält wahre Aussagen: Jetzt konstruiert man einen neuen Wert und einen neuen Wert . Wie man auf die spezielle Konstruktionsvorschrift für diese neuen Werte kommt, steht hier nicht zur Diskussion. Das ist halt die Genialität desjenigen, der sich den Beweis ausgedacht hat. Wir akzeptieren die Vorschrift einfach. Nun kann man zeigen, dass das Wertepaar ebenfalls das Gleichungssystem erfüllt. Das ist dann der Widerspruch zu der Annahme, es gäbe genau 2 Lösungspaare und nicht mehr. Da ja frei wählbar ist, gibt es eigentlich beliebig viele Lösungspaare . Um zu zeigen, dass die Gleichungen erfüllen, setz man einfach ein. Ich mache das hier mal mit der ersten Gleichung: Die zweite Gleichung geht genauso. Bei der Zusammenfassung der Terme habe ich die obigen Aussagen benutzt, die gelten müssen, wenn und Lösungen sind. |
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Hallo, also für den indirekten Beweis, nehmen wir bezüglich der gegebenen Problematik an, das es ein LGS mit genau zwei verschiedenen Lösungen gibt. Wenn die dafür aufgestellten Bedingungen, also demnach das es ein System geben müsste nicht lösbar ( oder lösbar? ) sind ist es ein Wiederspruch? Leider erkenne ich diesen noch nicht. Dafür müsste ich doch auch die geniale Vorschrift richtig interpretieren können? :-) So richtig ist mir das leider noch nicht klar! VLG! Basti |
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Hallo Basti, wir nehmen an, es gäbe ein LGS mit genau 2 verschiedenen Lösungen Lösungspaare und . Dann gucken wir, was aus dieser Annahme folgt. Dabei bekommen wir raus, dass es für so ein LGS noch eine dritte Lösung gibt. Das ist dann ein Widerspruch zu der Annahme, es gäbe !genau! 2 Lösungen. Eine Annahme, die zu einem Widerspruch führt, kann nicht richtig sein. Also muß das Gegenteil der Annahme richtig sein: Es gibt kein LGS das genau 2 Lösungen hat. Die "geniale" Vorschrift ist doch nicht schwer zu verstehen und zu benutzen. Was schwer ist, das ist der Weg, wie man drauf kommt. Wenn man sie aber einmal weiß, dann benutzt man sie einfach und konstruiert ein Zahlenpaar von dem man zeigen kann, dass es eine Lösung des Gleichungssystems ist. In analoger Weise kann man den Beweis führen, dass es kein LGS mit einer endlichen Anzahl verschiedener Lösungen gibt. Es bleiben also nur folgende Varianten übrig: - keine Lösung - genau eine Lösung - unendlich viele Lösungen QPhma |
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Hallo nochmals, also es existiert zu der Annahme also eine dritte Lösung, die den als Wiederspruch gelten kann. Aber um diese dritte Lösung zu erkennen, benötigt man doch das Verständnis und die Herleitung "unserer" genialen Vorschrift, oder? :-) VLG Basti |
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Hallo Basti, vielleicht reden wir aneinander vorbei. Wenn Du so einen Beweis selber aufstellen sollst, für einen anderen mathematischen Satz, dann musst Du freilich eine solche "geniale Konstrunktion" selber herleiten, also ausdenken. Ich hatte aber gedacht, Du wolltest nur den Beweis nachvollziehen, den Du in der Vorlesung präsentiert bekommen hast. Denn da hat schon jemand anders rausgefunden, wie man die dritte Lösung konstruieren kann und Du musst nur noch nachvollziehen, ob alles richtig gerechnet ist und alle logischen Schlußfolgerungen stimmen. Für die Gültigkeit des Beweises ist es egal, wie man auf die dritte Lösung gekommen ist. Hauptsache, es gibt sie und man kann damit die Annahme widerlegen, das LGS hätte genau 2 Lösungen. Gruß QPhma |
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