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Lösungen der Fixpunktgleichung sind ev. Grenzwerte

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Fixpunktgleichung, Folgen, Grenzwert, Reihen

Nikkidom aktiv_icon

19:41 Uhr, 12.10.2009

Hallo,

in meinem Mathematikbuch wird der Begriff der Fixpunktgleichung folgendermaßen eingeführt:

Für eine rekursiv definierte Folge

a_{n + 1} = {(2 a_{n})}^{\frac{1}{2}}

mit

a_{0} = 1

gibt es, postulierte man eine Konvergenz, ein a Element von

N,

welches der Grenzwert ist.

Es wird behauptet, dass aus den vorher dargestellten Rechenregeln folge:

a =

lim_n→∞

a_{n} + 1 =

lim_n→∞

{(2 a_{n})}^{\frac{1}{2}} = {(2 a)}^{\frac{1}{2}}

Ich kann nun nicht verstehen, wie das

{(2 a)}^{\frac{1}{2}}

aus diesen Rechenregeln zustanden kommen soll.

Kann mir jemand zudem erklären, was dies mit einer Iteration zu tun hat? Und vielleicht allgemein, was das Prinzip hinter dem ganzen ist?
Mir wäre sehr geholfen, vielen lieben Dank!

Dominik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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DK2ZA aktiv_icon

12:22 Uhr, 13.10.2009

a_{0} = 1

a_{n + 1} = \sqrt{2 \cdot a_{n}}

Der Taschenrechner liefert

a_{0} = 1

a_{1} = \sqrt{2} = 1,414 . .

a_{2} = \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}} = 1,681 . .

a_{3} = 1,834 . .

a_{4} = 1,915 . .

a_{5} = 1,957 . .

.

usw...

Die Folge konvergiert gegen 2 und wenn man 2 einsetzt für

a_{n},

dann erhält man wieder 2 als nächsten Wert.

Das kann man benutzen, um diesen Grenzwert zu berechnen, falls die Folge überhaupt konvergiert. Man schreibt also

a = \sqrt{2 \cdot a}

Quadrieren:

a^{2} = 2 \cdot a

a = 2

GRUSS, DK2ZA

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