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Logarithmusgleichung - Division von ln

Schüler

Tags: Division, e-Funktion, Exponentialgleichung, Logarithmus, Logarithmusfunktion, Logarithmusgleichung

HiHat aktiv_icon

23:47 Uhr, 05.09.2015

Hallo zusammen!

Bin gerade dabei meine Mathekenntnisse fürs anstehende Studium etwas aufzufrischen. Eine Logarithmusgleichung bereitet mir jedoch große Schwierigkeiten - deshalb erbitte ich eure Hilfe.

Es handelt sich um folgende Gleichung (sorry, kann den Formeleditor nicht verwenden):

ln(v-3)/ln(v) = 0,5

Mein Lösungsansatz beruht auf dem, was mir unser Lehrer bezüglich dem Umformen von ln erzählt hat.

Und zwar kann man z.B. ln(x)=5 ja als e^ln(x)=e^5 darstellen. Das e und ln könnte man kürzen, weshalb nur noch x = e^5 übrig bleiben würde.

Auf meine obrige Problemaufgabe bezogen, würde dies bedeuten:

e^ln(v-3)/e^ln(v) = e^0,5

--> e und ln fliegen raus

(v-3)/(v) = e^0,5 | *(v)

(v-3) = e^0,5 * v | - v

-3 = (e^0,5 - 1)v | : (e^0,5 - 1)

v = - 3/(e^0,5-1)

Allerdings stimmt das Ergebnis nicht. Es muss laut Lösungsbuch ((7+sqrt(13))/2 herauskommen. Ich verstehe aber nicht, was an meiner Rechnung falsch ist bzw. mir fällt nix anderes ein :-/

Ich hoffe ihr könnt mir etwas unter die Arme greifen :)

- HiHat

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Multiplikation und Division von Brüchen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

00:05 Uhr, 06.09.2015

>

sorry, kann den Formeleditor nicht verwenden
Den normalen Text-Modus wählen und (mehr oder weniger) einfach drauf los tippen.
Dann vl noch einen Blick in www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf machen.

>

Das

e

und

ln

könnte man kürzen,
Neiiiiiiin!!!!!!!!!!!!!! Man kürzt Brüche, aber hier ist diese Bezeichnung fehl am Platz.

e^{x}

und

ln (x)

sind gegenseitig Umkehrfunktionen voneinander und deshalb hebt sich ihre Wirkung bei Hintereinanderschaltung auf. Nicht immer, wenn in der Mathematik etwas wegfällt nennt man das kürzen.

>

Auf meine obrige Problemaufgabe bezogen, würde dies bedeuten:

> \frac{e^{ln (v - 3)}}{e^{ln (v)}} = e^{0,5}

Und da ist es passiert!

e^{\frac{A}{B}} \neq \frac{e^{A}}{e^{B}}

Also nochmals von vorn und diesmal sollten wir vor dem Entlogarithmieren erst ein wenig aufräumen:

\frac{ln (v - 3)}{ln (v)} = 0,5 | \cdot ln (v)

ln (v - 3) = 0,5 \cdot ln (v) | \cdot 2

2 \cdot ln (v - 3) = ln (v) |

und jetzt verwenden wir

a \cdot ln (b) = ln (b^{a})

ln ({(v - 3)}^{2}) = ln (v) | e^{(...)}

jetzt erst entlogarithmieren

{(v - 3)}^{2} = v

und ich nehme an, die sich ergebende quadratische Gleichung schaffst du jetzt selbst.

Schau dir nochmals die Rechenregeln für Logarithmen genauer an!

R

HiHat aktiv_icon

00:38 Uhr, 06.09.2015

Hey Roman, erstmal vielen Dank für deine ausführliche Erklärung & den Tipp bzgl. des Editors ;-)

Allerdings verstehe ich einfach nicht, wieso ich nicht bereits bei diesem Schritt

> \frac{e^{ln (v - 3)}}{e^{ln (v)}} = e^{0,5}

entlogarithmieren darf. Darf man nur im Fall

e^{\frac{A}{B}}

entlogarithmieren, aber nicht bei

\frac{e^{A}}{e^{B}}

? Sorry für diese amateurhaften Fragen, aber ich stehe grad voll auf dem Schlauch

: |

Ma-Ma aktiv_icon

00:49 Uhr, 06.09.2015

Du kommst niemals auf den Ausdruck

\frac{e^{ln (v - 3)}}{e^{ln (v)}}

Da liegt Dein Fehler. Hatte Roman aber bereit in seinem Post geschrieben.

HiHat aktiv_icon

01:05 Uhr, 06.09.2015

Also muss ich vor dem Entlogarithmieren die Gleichung in die Form

ln (...) = ln (...)

bringen?

Kann man das grundsätzlich so sagen?

Roman-22

01:08 Uhr, 06.09.2015

OK, machen wir es auf deine Art, aber die verwendeten Logarithmenregeln werde ich jetzt nicht kommentieren, die schlägst du bitte selbst nach

\frac{ln (v - 3)}{ln (v)} = 0,5 | e^{(...)}

e^{\frac{ln (v - 3)}{ln (v)}} = e^{0,5}

e^{ln ({(v - 3)}^{\frac{1}{ln (v)}})} = e^{0,5}

{(v - 3)}^{\frac{1}{ln (v)}} = e^{0,5} | ({(...)}^{ln (v)}

v - 3 = {(e^{0,5})}^{ln (v)}

v - 3 = e^{0,5 \cdot ln (v)}

v - 3 = {(e^{ln (v)})}^{0,5}

v - 3 = v^{0,5} | {(...)}^{2}

{(v - 3)}^{2} = v

R

EDIT:

>

Also muss ich vor dem Entlogarithmieren die Gleichung in die Form

> ln (...) = ln (...)

>

bringen?

Es ist sinnvoll, aber wie eben gezeigt - müssen tut man nicht ;-)

>

Kann man das grundsätzlich so sagen?
Das ist so eine Sache mit den Grundsätzen.
Es führen viele Wege zum richtigen Ergebnis und manche sind eben ein wenig steiniger als andere. Wichtig ist, die grundlegenden Rechenregeln wirklich ohne viel nachzudenken zu beherrschen und richtig anzuwenden. Dann führen meist auch Umwege zum Ziel und mit der Zeit bekommt man dann die Erfahrung, welcher Weg von Anfang an am einfachsten sein könnte.

R

Ma-Ma aktiv_icon

01:13 Uhr, 06.09.2015

Nun ja, die Potenzgesetze sollte man da auch kennen

. .

. Der Weg ist sehr steinig

. .

HiHat aktiv_icon

01:36 Uhr, 06.09.2015

Sauber, jetzt hab ich's geschnallt!

Vielen Dank :-)

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