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Logistisches Wachstum

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion, logistisches Wachstum

Franziska1 aktiv_icon

15:23 Uhr, 01.01.2012

Hallo,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe und komme nicht so recht weiter...

Eine Population Taufliegen wird am Tag null mit

200

Tieren angesetzt. Einen Tag später werden bereits

240

Tiere gezählt.

a)

Angenommen, die Population wächst exponentiell.
Stellen Sie die Funktionsfunktion

N (t)

auf, die dieses
Wachstum beschreibt.

Ich war eigentlich der Meinung, dass die allgemeine Form einer Exponentialfuntion so lautet:

f (x) = f (0) \cdot a^{x}

Dann würde ja gelten:

f (x) = 200 \cdot {1,2}^{x}

a = \frac{240}{200}

Im folgenden ist aber aufgefallen, dass das nicht richtig sein kann.. wieso? Warum ist diese Gleichung anscheinend nicht richtig?

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

15:26 Uhr, 01.01.2012

Stimmt doch alles:

N (0) = 200 \cdot {1,2}^{0} = 200 \cdot 1 = 200

N (1) = 200 \cdot {1,2}^{1} = 200 \cdot 1,2 = 240

GRUSS, DK2ZA

Franziska1 aktiv_icon

15:30 Uhr, 01.01.2012

Ja, aber wenn man weiter rechnet stimmt es nicht mehr...

denn bei

10

Tagen, gibt es erst

1210

Fliegen.
und bei

n (16)

sollte man im Verlauf der Aufgabe auf

3563

Fliegen kommen.

Das kann aber durch meine Gleichung nicht bestätigt werden.
Woran liegt das?

DK2ZA aktiv_icon

15:46 Uhr, 01.01.2012

N (10) = 200 \cdot {1,2}^{10} = 1238

N (16) = 200 \cdot {1,2}^{16} = 3698

Die anderen Zahlen sind falsch. Bücher enthalten manchmal Fehler.

DmitriJakov aktiv_icon

15:49 Uhr, 01.01.2012

Nicht, wenn im Laufe der

16

Tage die eine oder andere Fliege eine fatale Begegnung mit der Fliegenklatsche hatte :-D)

Franziska1 aktiv_icon

15:52 Uhr, 01.01.2012

Meine Lehrerin meinte aber, dass die richtige Gleichung so lauten muss:

n (t) = 200 e^{0,18 t}

Und das geht auch auf... aber ich verstehe nicht, wieso meine nicht richtig ist???

DmitriJakov aktiv_icon

16:14 Uhr, 01.01.2012

Der Unterschied ist eben, dass Deine Lehrerin falsche Angaben macht, denn das von Deiner Lehrerin ist objektiv falsch. Denn die Aussage war, dass nach 1 Tag die Anzahl der Fliegen

240

ist und nicht etwa

200 \cdot e^{0,18} = 239,443472

Mal ganz abgesehen davon, dass es bei der Anzahl von Fliegen nur ganze Zahlen geben kann ;-)

DK2ZA aktiv_icon

16:24 Uhr, 01.01.2012

N (t) = 200 \cdot {1,2}^{t} = 200 \cdot e^{ln ({1,2}^{t})} = 200 \cdot e^{t \cdot ln (1,2)} = 200 \cdot e^{t \cdot 0,18232155679 ...}

Deine Lehrerin hat den Faktor im Exponenten recht ungenau angegeben.

prodomo aktiv_icon

16:45 Uhr, 01.01.2012

Das ist eine alte Berliner Abituraufgabe. In der Lösung ist

ln (1,2)

0,18

vergröbert aufgeführt, damit die Schüler nicht an ihrem Hang zum TR scheitern. Darauf sollte aber korrekterweise im Text hingewiesen werden. Im weiteren Aufgabengang kommt dann auch das logistische Wachstum zu seinem Recht...

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