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Matrixexponentialfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Differentialgleichungssystem, Exponentialfunktion, Matrix

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09:42 Uhr, 09.02.2017

Hallo zusammen,
ich soll die allgemeine Lösung des DGLs mit Hilfe der Matrix-Exponentialfunktion bestimmen.
$\frac{d}{{d y}_{1}} = 2 y_{2} + y_{3}$
$\frac{d}{{d y}_{2}} = 2 y_{3}$
$\frac{d}{{d y}_{3}} = 0$

Ich bekomme also folgende Matrix $\frac{d}{d y} = (\begin{matrix} 0,2,1 \\ 0,0,2 \\ 0,0,0 \end{matrix})$
Die allgemeine Definition der Matrix Exponentialfunktion ist mir bekannt:
I+(t*M)/(1!)+(t^2*M^2)/(2!)...

Wie komme ich hier jetzt aber auf die Lösung eines DGLs-Systems?
Danke an alle die sich die Zeit nehmen mir zu helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

09:47 Uhr, 09.02.2017

Hallo,

rechne doch einfach $M^{2}$ und $M^{3}$ mal aus.

Gruß pwm

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10:06 Uhr, 09.02.2017

also für $M^{2}$ bekomme ich $= (\begin{matrix} 0,0,4 \\ 0,0,0 \\ 0,0,0 \end{matrix})$ und für $M^{3} = (\begin{matrix} 0,0,0 \\ 0,0,0 \\ 0,0,0 \end{matrix})$

pwmeyer aktiv_icon

10:22 Uhr, 09.02.2017

Was fehlt Dir dann noch?

lifescience aktiv_icon

10:25 Uhr, 09.02.2017

ehrlich gesagt keine Ahnung.. ich verstehe nicht wie ich auf die allgemeine Lösung kommen soll.
Natürlich soll es heißen:
$e^{M \cdot t} = (\begin{matrix} 1,0,0 \\ 0,1,0 \\ 0,0,1 \end{matrix})) + \frac{t}{1!} \cdot (\begin{matrix} 0,0,4 \\ 0,0,0 \\ 0,0,0 \end{matrix}) \cdot \frac{t^{2}}{2!} .$ .
Aber wie komme ich jetzt zur allgemeinen Lösung?

pwmeyer aktiv_icon

10:33 Uhr, 09.02.2017

Die allgemeine Lösung eines Differentialgleichungssystems

$y' (t) = M \cdot y (t)$

ist $y (t) = e x p (t \cdot M) \cdot c$ mit einem beliebigen $c \in ℝ^{n}$ .

Warum schaust Du nicht mal in Dein Skript?

Gruß pwm

lifescience aktiv_icon

10:40 Uhr, 09.02.2017

Die allgemeine Definition ist mir bekannt!!!
Ich frage mich ja lediglich ob man das Ergebnis noch zusammenfassen bzw in eine Matrix schreiben muss,und wenn ja wie das geht.
Wenn hilfreiches im Skript stehen würde, würde ich hier nicht nachfragen ;-)

pwmeyer aktiv_icon

11:25 Uhr, 09.02.2017

Hallo,

Du schreibst: "Die allgemeine Definition ist mir bekannt!!!"

Warum hast Du dann gefragt: "Aber wie komme ich jetzt zur allgemeinen Lösung?" ??

Ob man die beiden Matrizen noch zusammenaddiert ist doch offensichtlich eine Geschmacksfrage

Gruß pwm

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