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Matrizen und Beweise

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Beweis, Matrizenrechnung, Studium

JonSchnee aktiv_icon

19:48 Uhr, 21.10.2017

Heyho,
ich möchte gerne diese Aufgaben lösen, bin aber noch sehr neu bei Matrizen und Beweisen. Über jede Idee bin ich sehr dankbar. :-)

Sei

n

Element

ℕ

(a)

Seien invertierbare

A, B, C \in ℝ^{n x n}

gegeben. Zeigen Sie, dass gilt:

C^{- 1} ({(A B)}^{- 1} + C) A = {(B C)}^{- 1} + A

.

Meine Idee: Das Linke

[

also

\to C^{- 1} ({(A B)}^{- 1} + C) A]

kann man irgendwie so umformen,
dass das Rechte

[

also

\to {(B C)}^{- 1} + A]

heraus kommt. Kann ich

{(A B)}^{- 1}

direkt zu

A^{- 1} B^{- 1}

umwandeln?

(b)

Sei

A \in ℝ^{n x n}

so, dass

A^{2} + 2 A + E_{n} = 0

. Zeigen Sie, dass dann A inventierbar ist und

A^{- 1} = - A - 2 E_{n}

gilt.

(c)

Sei

A \in ℝ^{n x n}

inventierbar. Beweisen Sie: Für

c \in ℝ, c \neq 0,

ist

{(c A)}^{- 1} = c^{- 1} A^{- 1}

.

Meine Idee: Also ich habe hier einen Satz

1.32.1

welcher sagt:

[{(λ A)}^{- 1} = λ^{- 1} A^{- 1}]

Kann ich das einfach so verwenden? Das wirkt schon etwas zu einfach.

Jede Hilfe ist willkommen.
Danke fürs Lesen :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

19:58 Uhr, 21.10.2017

Hallo,
es gilt

(X Y)^{- 1} = Y^{- 1} X^{- 1}

für invertierbare Matrizen

X, Y

.
Also Vorsicht: die Faktoren werden vertauscht !
Gruß ermanus

JonSchnee aktiv_icon

20:11 Uhr, 21.10.2017

Danke ermanus :-)

JonSchnee aktiv_icon

20:15 Uhr, 21.10.2017

(a)

habe ich zurzeit:

C^{- 1} (B^{- 1} A^{- 1} + C) A = C^{- 1} B^{- 1} + A

C^{- 1} B^{- 1} A^{- 1} + C^{- 1} C) A = C^{- 1} B^{- 1} + A

C^{- 1} B^{- 1} A^{- 1} + E_{2}) A = C^{- 1} B^{- 1} + A

C^{- 1} B^{- 1} A^{- 1} A + E_{2} A = C^{- 1} B^{- 1} + A

C^{- 1} B^{- 1} E_{2} + E_{2} A = C^{- 1} B^{- 1} + A

Kommentar:

E_{2} A = A

C^{- 1} B^{- 1} E_{2} + A = C^{- 1} B^{- 1} + A

Kann ich

B^{- 1} E_{2}

B^{- 1}

ändern?

ermanus aktiv_icon

21:01 Uhr, 21.10.2017

Nun kannst du ganz normal das Distributivgesetz anwenden:
z.B.:

U (V + W) = U V + U W

oder

(V + W) U = V U + W U

...

JonSchnee aktiv_icon

21:49 Uhr, 21.10.2017

So wie ich es in der Antwort davor getan habe? War das richtig so?
Kann ich

B^{- 1} E_{2}

B^{- 1}

ändern? Matrix

\cdot

Einheitsmatrix ergibt ja wieder die Matrix.

ermanus aktiv_icon

23:40 Uhr, 21.10.2017

Klar,

E_{n}

ist Einselement der Multiplikation. Warum schreibst du

E_{2}

JonSchnee aktiv_icon

00:03 Uhr, 22.10.2017

Entschuldige, bei dem

E_{2}

war ich Gedanklich bei einer anderen Aufgabe :-D)

Hast du eine Idee zu

b

oder c?

Also bei

b

soll man ja überprüfen ob A invertierbar ist. Dafür darf die Determinante ja nicht gleich 0 sein. Also wäre die Idee ja zu zeigen, dass 0 nie erreicht werden kann. Bei dem was gelten soll, könnte man das A ausklammern, so als Idee? Hmm..

Bei

c

muss man irgendwie den Satz beweisen. Hmmm..

JonSchnee aktiv_icon

04:16 Uhr, 22.10.2017

Danke :-D)

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