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Mengen auf Offenheit/Abgeschlossenheit prüfen
Universität / Fachhochschule
Grenzwerte
Mengentheoretische Topologie
Tags: Grenzwert, kompaktheit, Mengentheoretische Topologie, Offenheit
 
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Ich habe eine grundlegende Frage zu folgender Aufgabe. Angenommen ich habe eine Menge gegeben mit Nun soll man zeigen, ob die Menge offen/abgeschlossen/kompakt ist. An sich verstehe ich die Begriffe, weiß aber nicht genau, wie ich das zeigen soll. Meine Idee wäre es zu zeigen, dass die Menge abgeschlossen ist, dann wäre sie nämlich nicht offen, da ja nur die leere Menge und selbst offen und abgeschlossen sein können. Aber wie zeige ich die Abgeschlossenheit, mit Grenzwerten? Vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Einfacher ist m.E. Eigenschaft Offenheit zu zeigen, zumindest wenn man bereits folgendes nutzen kann: Bei stetigen Funktionen ist das Urbild offener Mengen stets offen. (*) Im vorliegenden Fall betrachten wir dazu die stetige Funktion mit und betrachten das Urbild (Komplement von ). Da offen ist, gilt dies laut (*) auch für das Urbild . Aus offen folgt unmittelbar abgeschlossen. |
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Vielen Dank für die Antwort, ja das erscheint mir jetzt auch einfacher, könnte ich das gleiche auch mit einer abgeschlossenen Menge, zum Beispiel (-infinity,0 und die Funktionsvorschrift gleich lassen? Dann wäre das Urbild auch abgeschlossen und ich hätte direkt meine Menge als Urbild verwendet? Danke! |
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Ja, geht auch. Ich hab nur den Weg über "offen" gewählt, weil (*) de facto die Definition der Stetigkeit in topologischen Räumen ist. |
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okay vielen Dank, eine letzte Frage habe ich noch bezüglich der Beschränktheit. Kann ich das so argumentieren, dass es kein aus gibt, sodass ist, da gegen unendlich geht? |
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Am einfachsten und klarsten: gib konkret(!) eine Folge in M an, die unbeschränkt ist. |
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Du meinst zum Beispiel eine Folge für Element aus alle Folgenglieder sind in enthalten, aber die Folge ist unbeschränkt, auf diese Art? Schöne Grüße |
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Ja. Beachte, die Folge muss in R^3 liegen. Probier was aus, fang mit irgendeiner Folge in M an, und mache diese passend. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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