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Mengengleichung Beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Differenzmenge, logik, Mengengleichung, Mengenlehre, Schnittmenge

CodyDerLurch aktiv_icon

21:56 Uhr, 31.08.2018

Hallo alle zusammen,

Zur Zeit bereite ich mich auf ein Informatik Studium vor,
dabei bin ich im Rahmen der Mengenlehre auf folgende Aufgabe gestoßen:

Beweise dass folgendes gilt:

$(A \land B) \ C = (A \ C) \land (A \ C)$

Mein Lösungsvorschlag wäre folgender, wobei ich mir nicht sicher bin ob meine Notation in Ordnung ist:

Schnittmenge: $A \land B = \forall x (x \in A \land x \in B)$
Differenzmenge: $A \ B = \forall x (x \in A \land x \notin B)$

Definition der Schnittmenge: $(A \land B) \ C = \forall x (x \in A \land x \in B) \ C$
Definition der Differenzmenge: $\Leftrightarrow \forall x ((x \in A \land x \in B) \land x \notin C)$
Distributivgesetz: $\Leftrightarrow \forall x ((x \in A \land x \notin C) \land (x \in B \land x \notin C))$
$\Leftrightarrow \forall x (x \in A \land x \notin C) \land \forall x (x \in B \land x \notin C) = (A \ C) \land (A \ C) ▫$

Was sagt ihr zu der Lösung? Ist das Schema für einen solchen Beweis im Grunde richtig?

Ich bin schon häufiger über eine ander Schreibweise von Mengen in beschreibender Form gestoßen:
anstatt $A \land B = \forall x (x \in A \land x \in B)$ zum Beispiel $A \land B = {x ∣ x \in A \land x \in B}$

Dass beide Schreibweisen geeignet sind um Mengen zu beschreiben macht für mich Sinn, jedoch frage ich mich ob die letztere auch verwendet werden kann um einen Beweis wie oben zu führen.

Danke schonmal an alle die sich beteiligen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

22:19 Uhr, 31.08.2018

Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, geht man normalerweise in zwei Richtungen vor.
$M = N \Leftrightarrow M \subseteq N \land N \subseteq M$

$. .$ . und du meinst sicher $A \cap B$ und nicht $A \land B ($ das Letztere wären ja logische Aussagen )

CodyDerLurch aktiv_icon

22:32 Uhr, 31.08.2018

Ja, du hast recht! Meine Notation ist an der Stelle wohl falsch. Leider kann ich den Beitrag nicht mehr editieren aber wir meinen das gleiche denke ich.
Kannst du eventuell Bezug auf meine Lösung nehmen? Ist diese ein trotzdem ein gültiger Ansatz mit richtigem Weg?

Respon

22:36 Uhr, 31.08.2018

Die Schreibweise ist "holprig" und $z . T$ . nicht korrekt.
$z . B$ .
$x (x \in A \land x \in B)$ ergibt keinen Sinn.

CodyDerLurch aktiv_icon

22:51 Uhr, 31.08.2018

Die Aussage $x (x \in A \land x \in B)$ taucht so auch nicht auf (wenn mir kein Fehler unterlaufen ist).
Ich habe immer den Allquantor davor gesetzt, im Falle der Schnittmenge:
$A \cap B = \forall x (x \in A \land x \in B)$

Am Ende stelle ich ja nochmal eine Frage bezüglich der Schreibweisen.

Respon

22:54 Uhr, 31.08.2018

Der Allquantor spielt hier keine Rolle.
Wie würdest du
$x (x \in A \land x \in B)$
verbalisieren ?

CodyDerLurch aktiv_icon

23:04 Uhr, 31.08.2018

Ich bitte um etwas Nachsicht ... Wenn man sich erst seit 2 Tagen mit dem Thema beschäftigt kann man nicht alles wissen, darum wende ich mich an Menschen wie dich.

Bei meiner Lösung habe ich mich weitestgehend an dieser Seite orientiert:
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Mengengleichungen_beweisen
hier beweisen sie am Anfang die Identität zweier Mengen, dabei benutzen die Autoren die gleiche Schreibweise.

Ich verstehe das so (einfaches Beispiel):
$A = B \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$
"Für alle x gilt, wenn x Element von A ist, dann ist x auch Element von B"

Analog dazu habe ich dann versucht Dinge wie die Schnittmenge/Differenzmenge umzuschreiben.

Respon

23:08 Uhr, 31.08.2018

Das ist nicht korrekt.Wie du erkennst, hat das "gilt" hier keine Notationsentsprechung.
Äquivalenz: $x \in ...$ genau dann wenn $x \in . .$ .
Schau dir das mal an...
Zeige: $(A \cap B) \ C = (A \ C) \cap (B \ C)$
Nun transferieren wir unser Problem in die Aussagenlogik, deren Regeln und Gesetze wir als gegeben voraussetzen.
$1) z . z$ . $(A \cap B) \ C \subseteq (A \ C) \cap (B \ C)$
Sei $x \in (A \cap B) \ C \Rightarrow (x \in A \land x \in B) \land x \notin C \Rightarrow ... ... ... ... . \Rightarrow x \in (A \ C) \cap (B \ C)$
$2)$
"Gegenrichtung"

CodyDerLurch aktiv_icon

23:31 Uhr, 31.08.2018

Ich habe es nochmal versucht und bin dabei vorsichtiger mit der Notation gewesen:

$(A \cap B) \ C = (A \ C) \cap (B \ C)$
Umgeschrieben: $x \in (A \cap B) \ C \Leftrightarrow x \in (A \ C) \cap (A \ C)$ dies gilt für alle x ;-)
$x \in (A \cap B) \ C \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \land \neg (x \in C)$
$\Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land \neg (x \in C)$
Distributivgesetz: $\Leftrightarrow ((x \in A) \land \neg (x \in C)) \land ((x \in B) \land \neg (x \in C))$
$\Leftrightarrow (x \in (A \ C)) \land (x \in (A \ C))$
$\Rightarrow (A \cap B) \ C = (A \ C) \cap (B \ C)$

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23:31 Uhr, 31.08.2018

So müsste es doch mehr Sinn machen oder :-/

Respon

23:35 Uhr, 31.08.2018

Du verwendest in deinem Beweis schon von Anfang an " $\Leftrightarrow$ ", das sollst du ja erst beweisen.
Du musst die zwei Richtungen getrennt beweisen.

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23:42 Uhr, 31.08.2018

In der ersten Zeile formuliere ich die zu beweisende Aussage.
Zeile zwei soll das ganze dann in die Aussagenlogik überführen bzw. die dritte wohl eher.
Danach gehe ich von der linken Seite der ursprünglichen Gleichung in Richtung der rechten Seite, das wäre dann die eine Richtung.
Warum ist es nötig das ganze nun wieder von Rechts nach links zu machen?

Ist es denn zu 100% falsch was ich da im zweiten Lösungsansatz geliefert habe? Wie gesagt, ich bin Anfänger und ein kleines positives feedback wäre gut (wenn angebracht ^^).

Respon

23:44 Uhr, 31.08.2018

Deine Überlegungen sind grundlegend richtig. Manchmal werden auch in den Büchern Notationen verwendet, die nicht ganz der Norm entsprechen.
Üblicherweise sind beide Richtungen sind notwendig.
siehe $z . B$ . hier
www.mathe-lexikon.at/mengenlehre/grundlagen/gleichheit-von-mengen.html
oder hier
de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten

CodyDerLurch aktiv_icon

10:39 Uhr, 01.09.2018

Ok, unter Verwendung aller deiner Tipps habe ich diese Lösung erarbeitet:

Zu beweisen ist:

$(A \cap B) \ C = (A \ C) \cap (B \ C)$

$\Leftrightarrow (A \cap B) \ C \subseteq (A \ C) \cap (B \ C) \land (A \ C) \cap (B \ C) \subseteq (A \cap B) \ C$

$z . z . (A \cap B) \ C \subseteq (A \ C) \cap (B \ C)$ :
$\Rightarrow (x \in A \land x \in B) \land \neg (x \in C) \Rightarrow (x \in A \land \neg (x \in C)) \land (x \in B \land \neg (x \in C)) \Rightarrow (x \in A \ C) \land (x \in B \ C)$
$\Rightarrow x \in (A \ C) \cap (B \ C)$

$z . z . (A \ C) \cap (B \ C) \subseteq (A \cap B) \ C$ :
$\Rightarrow (x \in A \ C) \land (x \in B \ C) \Rightarrow (x \in A \land \neg (x \in C)) \land (x \in B \land \neg (x \in C)) \Rightarrow (x \in A \land x \in B) \land \neg (x \in C)$
$\Rightarrow x \in (A \cap B) \ C$

$\Rightarrow (A \cap B) \ C = (A \ C) \cap (B \ C) ▫$

Respon

10:47 Uhr, 01.09.2018

Schön, dass du dich so ernsthaft mit der Sache beschäftigst.
Ja, sieht gut aus.
Eventuell zu Beginn der vierten Zeile einfügen:
$\Rightarrow x \in (A \cap B) \ C \Rightarrow (x \in A \land x \in B) \land x \notin C \Rightarrow . .$ .
Analog weiter unten.

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