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Mengenlehre Beweis von |X∪Y|=|X|+|Y|−|X∩Y|
Universität / Fachhochschule
Tags: Beweis, Mengenlehre
 
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Hallo! Meine Aufgabe lautet: Seien und endliche Mengen. Man zeige: |X∪Y|=|X|+|Y|−|X∩Y|. Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht genau weiß wie ich so etwas (eigentlich ziemlich offensichtliches) beweisen soll. Meine Begründung sehe wahrscheinlich so aus: "Ja, es ist einfach so, weil es eben so ist" Das ist ja aber nicht Sinn der Sache :-) Kann mir jemand weiterhelfen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Kennst du noch die Venn-Diagramme? Anhand denen sollte doch klar sein, was hier passiert: Betrachte die beiden disjunkten Vereinigungen sowie . Aus denen folgt sowie , fehlt nur noch ein Schritt zum Ziel. |
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Erstmal danke für die Antwort. Ich verstehe was du meinst. Ich habe in den letzten Minuten über eine Lösung nachgedacht und bin schließlich auf diese hier gekommen: Zuerst betrachten wir die linke Seite der Gleichung, |X∪Y|, die die Anzahl der Elemente in der Vereinigung von und darstellt. Wir wissen, dass die Vereinigung von und alle Elemente enthält, die in mindestens einer der beiden Mengen oder enthalten sind. Jetzt betrachten wir die rechte Seite der Gleichung. |X∩Y| setzt sich aus drei Teilen zusammen: Die Anzahl der Elemente in X. Die Anzahl der Elemente in Y. |X∩Y|: Die Anzahl der Elemente, die in beiden Mengen und enthalten sind (der Schnitt). Wenn wir und zusammenzählen, zählen wir jedoch die Elemente, die in beiden Mengen und enthalten sind, doppelt. Daher subtrahieren wir |X∩Y|, um die doppelte Zählung zu korrigieren. Insgesamt repräsentiert |X∩Y| also die Anzahl der Elemente in und wobei doppelte Zählungen korrigiert werden. Da die linke Seite (|X∪Y|) und die rechte Seite |X∩Y|) denselben Wert repräsentieren, haben wir die Gleichung erfolgreich bewiesen: |X∪Y| |X∩Y| Ist dieser Beweis auch gültig? Oder muss ich noch etwas "mathematischer" an die Sache herangehen (so wie @HAL9000 es vorgeschlagen hat)? |
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Hallo, > "Ja, es ist einfach so, weil es eben so ist" Lass' dir von B. Russel dazu folgendes sagen: Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. Deshalb ist der Beweis das wichtigste in der Mathematik. Und da du darin (wie nahezu alle Neustudenten) ungeübt bist, müssen diese Dinge eben an erstmal einfachen Aussagen geübt werden. (Weil komplexe Aussagen dich noch mehr überfordern würden.) Da es um endliche Mengen geht, würde ich mir semikonkret Elemente in den Mengen , und hernehmen, etwa: , und schließlich , wobei (einschließlich Null). Es sollte klar sein, dass , und gelten. Wie man das nun beweist, hängt so ein bisschen davon ab, wie ihr in der Vorlesung vorgegangen seid. Nun kannst du rechnen (wobei sicher mit eingeht, dass gilt) und damit die Formel beweisen. Mfg Michael |
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