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Modellierung Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium,

Tags: Exponentialfunktion

mathe25

14:32 Uhr, 02.01.2012

Ich benötige Hilfe beim lösen der Aufgabe, die
sich auf dem Bild befindet (Augabe

13 -

Kapitalanlage).

Meine Lösungen sind:
a)gekaufte Hasen:

240;

nach einem Jahr:

263

Hasen
b)ca. 1 Hase pro Monat
c)nach 8 Monaten

d)

e)

Die Investition hat sich gelohnt, da sich die Hasen vermehrt haben.

Könnte jemand die Lösungen überprüfen und mir bei der

d)

helfen, da ich diese
Aufgabe vorstellen muss.

Danke schonmal für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

15:45 Uhr, 02.01.2012

Hallo,

a)

ist nichts anderes als

h (0)

und

h (12)

zu ermitteln.

h (0) = (240 + 20 \cdot 0) \cdot e^{(- 0,05 \cdot 0)} = (240 + 0) \cdot e^{0} = 240 \cdot 1 = 240

h (12) = (240 + 20 \cdot 12) \cdot e^{(- 0,05 \cdot 12)} = (240 + 240) \cdot e^{(- 0,6)} = 480 \cdot e^{(- 0,6)} = 263,429585 . .

.

Deine Ergebnisse stimmen wohl.

b)

Wachstumsrate zu Beginn ist nichts anderes als

h' (0)

zu ermitteln

h' (t) = 20 \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)} + (240 + 20 \cdot t) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)} \cdot (- 0,05) = (20 - 12 - t) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)} = (8 - t) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)}

h' (0) = (8 - 0) \cdot e^{(- 0,05 \cdot 0)} = 8 \cdot e^{0} = 8 \cdot 1 = 8

Da mußt Du einen Fehler haben. Oder solltest Du hier nur den Differenzenquotienten ermitteln?

h (1) = (240 + 20 \cdot 1) \cdot e^{(- 0,05 \cdot 1)} = (240 + 20) \cdot e^{(- 0,05)} = 260 \cdot e^{(- 0,05)} = 247,319650 . .

.

Das ergäbe aber auch eine Rate von 7 Hasen pro Monat und nicht nur einen...

c)

Das ist doch nichts anderes als

h' (t) = 0

zu ermitteln

h' (t) = (8 - t) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)}

h'' (t) = (8 - t) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)} \cdot (- 0,05) + (- 1) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)} = (0,05 \cdot t - 0,4 - 1) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)} = (0,05 \cdot t - 1,4) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)}

Da der zweite Faktor niemals Null wird, wird

h' (t)

genau dann Null, wenn der erste Faktor Null wird und das ist für

t = 8

der Fall.

h'' (8) = (0,05 \cdot 8 - 1,4) \cdot e^{(- 0,05 \cdot 8)} = (0,4 - 1,4) \cdot e^{(- 0,4)} = (- 1) \cdot e^{(- 0,05 \cdot 8)} < 0 \Rightarrow

Maximum

d)

Hier wird der kleinste Anstieg gesucht und damit nichts anderes, als die Nullstelle der zweiten Ableitung, denn der Anstieg ist die erste Ableitung und um den kleinsten Anstieg zu ermitteln, muß man die Ableitung der Ableitung, also die zweite Ableitung Null setzen.

h'' (t) = (0,05 \cdot t - 1,4) \cdot e^{(- 0,05 \cdot t)}

Da der zweite Faktor niemals Null wird, wird

h' (t)

genau dann Null, wenn der erste Faktor Null wird und das ist für

t = 28

der Fall. Da wir wissen, dass die Funktion genau ein Maximum und kein Minimum hat und trotzdem ab

t = 8

streng monoton fallend ist, muß es einen Wendepunkt geben und an diesem ist wegen dem fallenden Funktionsgraphen der Anstieg am geringsten. Wir brauchen an dieser Stelle nicht erst die dritte Ableitung bemühen.

Stellt sich hier nur die Frage, ob diese Lösung auch die gesuchte ist, denn das betrachtete Zeitfenster (und damit der betrachtete Bereich für x-Werte) ist hier eigentlich ein Jahr also

0 \leq t \leq 12

. Wegen der Stetigkeit und der ständigen Abnahme des Anstiegs bis

t = 28

ist der geringste Anstieg im betrachteten Zeitraum bei

t = 12,

also am Rand. Ich persönlich kann aus der Formulierung der Frage nicht genau bestimmen, was nun wirklich geeint ist. Gib am besten beide Lösungen an!

e)

Da die Funktion von

t = 0

bis

t = 8

steigt, sind zum Zeitpunkt

t = 6

ohne jede weitere Rechnung sicher mehr Hasen vorhanden als zum Zeitpunkt

t = 0

(mathematisch:

h (6) > h (0),

h' (t) > 0

für alle

t

mit

0 \leq t \leq 6)

.

Ob sich die Investition gelohnt hat, ist aber eine andere Sache! Wenn der Preis gefallen ist, dann kann er die vielen Hasen

u . U

. nur mit Verlust verkaufen. Da hätte ich in einer gut formulierten Aufgabe einen Hinweis erwartet, dass Franz die Hasen zum Einkaufspreis verkaufen kann. Damit ist diese Aufgabe wohl kaum von einem Mathematiker erstellt worden, der hätte dieses notwendige Detail kaum vergessen. Wenn man aber aus dem Fehlen des Preishinweises darauf schließen kann, dass der Preis stabil geblieben ist, dann macht Franz wohl einen Gewinn, denn er hat

h (6) = 266,694559 . .

. Hasen nach 6 Monaten, also mehr als

11 %

mehr.

mathe25

19:40 Uhr, 03.01.2012

Danke für die Hilfe.

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