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Modulo Kongruenz beweisen

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Beweis, Kongruenz, modulo, Teilbarkeit

 
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eisberg23

eisberg23 aktiv_icon

15:38 Uhr, 21.05.2016

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Hallo!

Folgende Aufgabenstellung:

Beweisen Sie:

a. Aus a ≡ b mod m und c ≡ d mod m folgt a - c ≡ b - d mod m
b. Aus a ≡ b mod m folgt ac ≡ bc mod m
c. Aus a ≡ m folgt a2 ≡ b2 mod m

Wir stehen hier bisschen auf dem Schlauch. Wir wissen aus der Vorlesung, dass a ≡ b mod m genau dann gilt, wenn a - b ohne Rest durch m teilbar ist.
Ich werde daraus jedoch nicht schlau!

Wie wende ich dieses wissen auf die Aufgabe an? Für ein kleines Beispiel wäre ich sehr dankbar!

Gruß, Rich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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michaL

michaL aktiv_icon

16:28 Uhr, 21.05.2016

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Hallo,

ich werde dir zeigen, wie man folgendes beweist:
Gelten a≡b mod m und c≡d mod m, so gilt auch a+c≡b+d mod m.

a≡b gilt nach Definition genau dann, wenn m∣a-b, d.h. es ex. v∈ℤ, sodass a-b=vm. (1)

Ebenfalls gibt es ein w∈ℤ mit
c-d=wm. (2)

Offenbar ist dann (v+w)m=vw+wm=(1)(a-b)+wm=(2)(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d), d.h. es gilt: m∣(a+c)-(b+d), was gemäß Definition zu a+c≡b+d mod m äquivalent ist.

Versuch dich nach diesem Schema an den beiden Aussagen.

Mfg Michael
eisberg23

eisberg23 aktiv_icon

13:03 Uhr, 22.05.2016

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Hey klasse! Danke für deine Hilfe!

Also ich versuche es dann mal:

Aufgabe a.

Gelten a≡bmodmundc≡d mod m, so gilt auch a - c ≡ b - d mod m.

a ≡ b gilt nach Definition genau dann, wenn m | a - b, d.h. es existiert ein v ∈ℤ, sodass a - b = vm (1)

Ebenfalls gibt es ein w ∈ℤ mit c - d = wm (2)

Dann ist (v - w)m = vw - wm =(1) (a - b) + wm =(2) (a - b) - (c - d), d.h. es gilt:

m | (a - c) - (b - d), was gemäß Definition zu a - c ≡ b - d mod m äquivalent ist.

Aufgabe b.

Gelten a≡bmodm, so gilt auch ac ≡ bc mod m.

a ≡ b gilt nach Definition genau dann, wenn m | a - b, d.h. es existiert ein v ∈ℤ, sodass a - b = vm (1)

Geht das dann vielleicht irgendwie so weiter:

ac - bc = (a - b) * c =(1) v * m * c

hmmm, ob das so richtig sein kann?


Freue mich auf euer Feedback, Rich
eisberg23

eisberg23 aktiv_icon

07:30 Uhr, 23.05.2016

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Hey Leute,

heute Nachmittag ist Deadline, deswegen pushe ich hier mal kurz aus Not :-)

Gruß, Rich
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