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Multilinearität nachweisen?!

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Beweis, Funktion, Linear Abbildung, Multilineare Abbildung

HerrElch aktiv_icon

17:03 Uhr, 28.05.2020

Hallo zusammen,
ich komme mit einer Aufgabe aus der Uni leider nicht wirklich gut zurecht.
Die Aufgabe lautet wiefolgt:

"Welche der folgenden Funktionen ist multilinear (also linear in jedem Argument)? Geben Sie genaue, kleinschrittige Begründungen.
(a)

f : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y)^{T} \mapsto x y;

(b)

g : ℝ^{3} \to ℝ, (x, y, z)^{T} \mapsto x y x + y z y + z x z;

(c)

h : ℝ^{3} \to ℝ^{3}, (x, y, z)^{T} \mapsto (x, y, z)^{T};

"

Ich verstehe leider nicht wirklich, wie ich diese Aufgabe sinnvoll angehen soll.
Die Definition von Linearität ist mir aus der Vorlesung bekannt. Multilinearität heißt ja jetzt wohl einfach Linearität für mehrere Unbekannte, zumindest so, wie ich das aus der Aufgabenstellung verstehe.
Zusätzlich verwundert mich die Schreibweise:

(x, y, z)^{T}

. Könnte man da nicht auch ganz einfach:

(\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

schreiben, oder habe ich da was falsch verstanden?

Ich würde mich sehr über eine Einstigeshilfe in den Beweis oder ein Beispiel freuen, an dem ich vielleicht besser verstehe, was ich sinnvoller Weise zeigen sollte.

Vielen Dank und LG :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

18:24 Uhr, 28.05.2020

Hallo,
ich schreibe mal bei a)

f (x, y) = x y

.
Bei Multilinearität muss ja
1.

f (c x, y) = c f (x, y)

und analog

f (x, c y) = c f (x, y)

sein und
2.

f (x + \hat{x}, y) = f (x, y) + f (\hat{x}, y)

und analog für das zweite Argument.
Ist das denn der Fall?

Gruß ermanus

HerrElch aktiv_icon

18:55 Uhr, 28.05.2020

Hallo,
ich glaube das Prinzip ist mir jetzt klar geworden. Deswegen markiere ich die Frage auch dirket mal als beantwortet.

Ich würde sagen, dass a also multilinear ist, da ja gilt:

1.

f (c x, y) = (c x) * y

f (c x, y) = c * x * y

f (c x, y) = c * (x * y)

f (c x, y) = c f (x, y)

f (x_{1} + x_{2}, y) = (x_{1} + x_{2}) * y

f (x_{1} + x_{2}, y) = x_{1} * y + x_{2} * y

f (x_{1} + x_{2}, y) = (x_{1} * y) + (x_{2} * y)

f (x_{1} + x_{2}, y) = f (x_{1}, y) + f (x_{2}, y)

Der selbe Beweis kann dann analog für y geführt werden. Es ist aber ja auch sofort ersichtlich, dass die Linearität auch für y gilt, da ja * kommutativ ist.

Vielen Dank für deine Hilfe :-)

ermanus aktiv_icon

20:17 Uhr, 28.05.2020

Hallo HerrElch,

noch als kleine Beigabe:
(b) und (c) sind nicht multilinear, hier also
Gegenbeispiele liefern :-)

Gruß ermanus

HerrElch aktiv_icon

21:04 Uhr, 28.05.2020

Danke :-)

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