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Natürliche Zahlen, Antisymmetrie

Universität / Fachhochschule

Tags: Antisymmetrie, Beweis

 
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Heisenberg93

Heisenberg93 aktiv_icon

22:50 Uhr, 13.10.2015

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Guten Abend,

wir haben vor kurzem mit dem Thema " Mengenlehre und Logik " begonnen.

Zu aller erst haben wir uns die natürlichen Zahlen angeschaut und folgende Relation definiert:

" a ist ein teiler von b und b ist ein teiler von a→a=b und das wiederum ist Antisymmetrisch ,a und b sind Elemente von N"

Dann haben wir denn Beweis erbracht, dass a wirklich =b ist, denn ich auch teilweise verstanden habe.

Jedoch verstehe ich nicht warum es Antisymmetrisch ist.

Würde ein Beispiel mit Realitätsbezug sehr begrüßen, da es mir noch schwer fällt deart abstrakt zu denken.


Gruß



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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ledum

ledum aktiv_icon

00:48 Uhr, 14.10.2015

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Hallo
a teilt b kann ich für a≠b nicht symmetrisch umschreiben, symmetrisch zu a teilt b wäre bt eilt a
deshalb ist die Relation antisymmetrisch
Gruß ledum
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Bummerang

Bummerang

13:59 Uhr, 14.10.2015

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Hallo,

versuche es mal so zu verstehen:

Seien a,b∈ℕ (bei mir ist ℕ ohne Null!), dann ist definiert

a|b  ⇔  ∃ka∈ℕ mit a⋅ka=b

Da nun ka∈ℕ ist, ist ka≥1 und deshalb

(i)     b=a⋅ka≥a.

Wenn nun gleichzeitig gilt:

b|a  ⇔  ∃kb∈ℕ mit b⋅kb=a

dann folgt daraus, dass kb∈ℕ ist, dass kb≥1 und deshalb

(ii)     a=b⋅kb≥b.

Mit anderen Worten: Wenn a|b und b|a, dann ist a≤b und b≤a und letzteres ist, was einfach nachzuvollziehen ist, die Folgerung, dass a=b ist. Keine Zahl kann gleichzeitig kleiner gleich einer anderen Zahl sein und gleichzeitig größer oder gleich, ohne dieser Zahl gleich zu sein! Deshalb gilt für die Teilerrelation:

Aus a|b und b|a folgt, dass a=b ist.

Und das ist genau die Definition einer antisymmetrischen Relation. Formal mit R als Teilerrelation steht in der Definition der Antisymmetrie:

Aus aRb und bRa folgt, dass a=b ist.

bzw. nur anderes geschrieben:

Aus (a,b)∈R und (b,a)∈R folgt, dass a=b ist.
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