Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Ober/Untersumme Exponential/Wurzelfunktion

Ober/Untersumme Exponential/Wurzelfunktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Exponentialfunktion, Integration, Obersumme, Untersumme, Wurzelfunktion

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Fliege

Fliege aktiv_icon

09:02 Uhr, 20.12.2018

Antworten
Hallo zusammen,

ich sitze schon seit zwei Tagen an folgender Aufgabe und komme irgendwie nicht auf die zündende Idee:

Berechne das Integral 0aexp(x)dx (a 0 und aus den reellen Zahlen) mithilfe von Ober- und Untersumme. Dazu sollen die Partitionen {0,an,2an,...,a} betrachtet werden.

Ein ähnliches Problem habe ich mit einer Aufgabe (selbe Fragestellung, aber für das Intervall [0,1] und x aus [0,1]) zur Wurzelfunktion, genauer gesagt: f(x)=x1+x

Bislang habe ich folgendes versucht:

Ich habe mir Ober- und Untersumme aufgeschrieben. Die Partition ist ja jeweils k*a/n für k aus den natürlichen Zahlen. Außerdem ist die Exponentialfunktion monoton wachsend.

Oberintegral: O(f)=inf(k=0nexp((k+1)*an)*((k+1)*an-kan)
Unterintegral: U(f)=sup(k=0nexp(k*an)*((k+1)*an-kan)

Wenn ich mich nicht irre, müsste das Ergebnis am Ende lauten: 0aexp(x)dx=exp(a)-exp(0)=exp(a)-1

Deshalb habe ich versucht, irgendeine Umformung in Ober- und Untersumme zu finden, bei denen das obige Ergebnis nach Berechnung des Limes herauskommt, bin damit aber ziemlich erfolglos geblieben. Ich war schon bei Rechenregeln für die Exponentialfunktion und bei Teleskopreihen, hab's aber nicht auf die Reihe bekommen - mein Limes wird immer 0... Ich würde gern wissen, ob meine bisherigen Überlegungen richtig oder falsch sind (wenn falsch, bitte wo das Problem liegt) und wäre für einen neuen Anstoss bei der Umformung dankbar. Ähnliche Überlegungen und ein ähnliches Problem habe ich bei der Wurzelaufgabe; hier habe ich die Partitionen k/n und (k/n)^2 ausprobiert.

Vielen Dank schon mal und viele Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

09:20 Uhr, 20.12.2018

Antworten
Ein kleiner Fehler: Die k-Summation läuft nur bis n-1 statt bis n.

Deine Ober- und Untersummen sind jeweils Partialsummen geometrischer Reihen: Setzt man q:=exp(an), so ist

k=0n-1exp(kan)((k+1)an-kan)=ank=0n-1exp(kan)=ank=0n-1qk=anqn-1q-1=an(exp(an)-1)(exp(a)-1),

und ganz ähnlich bei der Obersumme

k=0n-1exp((k+1)an)((k+1)an-kan)==anqqn-1q-1=an(1-exp(-an))(exp(a)-1) .


Nachzuweisen wäre also noch der Grenzwert limnan(exp(an)-1)=1, was nach Substitution t=an dem Grenzwert limt0texp(t)-1=1 entspricht.

Frage beantwortet
Fliege

Fliege aktiv_icon

12:08 Uhr, 18.03.2019

Antworten
Danke für die Hilfe!