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Obere Schranke einer Menge - Beweis

Universität / Fachhochschule

Körper

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Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Körper

limes21 aktiv_icon

23:19 Uhr, 30.04.2023

Hallo,

ich kann den folgenden Beweis für die 2 als Supremum von der Menge

N

nicht ganz nachvollziehen:

Sei

K

ein angeordneter Körper.

N := {\frac{2 x}{1 + x} : x \in K, x \geq 1}

Für

x

∈

K, x

≥ 1 ist

1 + x

≤

2 x < 2 (1 + x)

und somit 1 ≤

\frac{2 x}{1 + x} < 2;

also folgt

1 \leq t < 2

für

t

∈

N

Somit ist 1 eine untere Schranke und 2 eine obere Schranke von N. Wegen

1 = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1}

∈

N

folgt

min N =

inf

N = 1

Wir zeigen nun, dass 2 die kleinste obere Schranke von

N

ist.
Angenommen, es gäbe eine obere Schranke

s < 2

von N. Dann ist

s

≥

min N = 1

.

Betrachte

t := (\frac{s + 2}{2}) \in (s,2)

Sei

x \in K

so, dass

t = \frac{2 x}{1 + x} d . h

x = \frac{t}{2 - t}

Wegen

t > s \geq 1

ist

x \geq 1

und somit

t = \frac{2 x}{1 + x} \in N

. Wegen

t > s

ist

s

somit keine obere Schranke von

N -

Widerspruch. Es folgt supremum(N)

= 2

.

Was ich nicht wirklich verstehe, ist der Schritt, dass es gegeben ist, dass man sich ein

x

aus dem Körper

K

nehmen kann und dieses genau so "transformieren" kann, dass es ein anderes Element aus dem Körper ergibt (was dann, da

\frac{2 x}{1 + x}

mit

x \in K

gerade die Mengendefinition von

N

ist auch direkt in

N

liegen muss). Ich hoffe meine Frage ist verständlich. Ich denke mal es ist relativ offensichtlich warum das funktionieren muss, kann es mir aber nicht klarmachen, warum es gegeben ist, dass man diese "Operation" überhaupt machen kann.

Ich würde mich freuen, wenn mir das jemand näherbringen könnte.

BG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
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HJKweseleit aktiv_icon

02:27 Uhr, 01.05.2023

Nein, du nimmst ein (noch zu bestimmendes) x aus K und transformierst es so zu t, dass es in N - nicht zwangsläufig in K - liegt.

Der Beweis ist allerdings fehlerhaft. Die obere Schranke könnte auch 1,8 sein. Dort wird einfach zu irgendeinem t, das angeblich > s ist, das passende x konstruiert, aber nirgendwo gezeigt, dass dann t>s dabei herauskommt. Dass t < 2 ist folgt aus der Darstellung t =

\frac{2 x}{1 + x}

, das wurde ja vorher auch bewiesen, aber dass dabei wirklich z. B. t > 1,8 herauskommt, nicht.

Richtiger Beweis mit Erklärung:

Wäre 2 nicht obere Schranke s von N, so wäre s < 2 und dürfte von keinem möglichen Element aus N überschritten werden. Wir betrachten nun z.B. die Zahl, die genau in der Mitte zwischen der oberen Schranke s mit 1

\leq

s < 2 und 2 liegt, indem wir das arithmetische Mittel t aus s und 2 bilden:

t:=

\frac{s + 2}{2}

Jetzt fragen wir uns: Lässt sich aus K ein x

\geq

1 finden, das solch ein t erzeugt? Dann wäre t > s, und s könnte nicht obere Schranke sein.

Es müsste sich somit t schreiben lassen als t =

\frac{2 x}{1 + x}

, also

\frac{s + 2}{2}

\frac{2 x}{1 + x}

.

Hier ist entscheidend, das x mit Hilfe von s gebildet wird und nicht von einem t, dessen Eigenschaft weiter gar nicht benutzt wird. t könnte sonst auch 1,3 oder 1,9 sein.

Da so ein x gesucht wird, lösen wir nach x auf: (s+2)(1+x)=2

\cdot

\overset{}{\Leftrightarrow}

s + xs + 2 + 2x = 4x

\overset{}{\Leftrightarrow}

s + 2 = x(2-s)

\overset{}{\Leftrightarrow}

x =

\frac{s + 2}{2 - s}

.

Der Nenner ist positiv, da s < 2 sein soll. Der Zähler ist größer als der Nenner, also ist x > 1.
Das wird in obigem Beweis z.B. gar nicht untersucht.

Probe: t =

\frac{2 x}{1 + x}

\frac{2 (s + 2) / (2 - s)}{1 + (s + 2) / (2 - s)}

\frac{(2 s + 4) / (2 - s)}{(2 - s) / (2 - s) + (s + 2) / (2 - s)}

\frac{(2 s + 4) / (2 - s)}{(2 - s + s + 2) / (2 - s)}

\frac{2 s + 4}{4}

\frac{s + 2}{2}

wie gewünscht zwischen s und 2.

limes21 aktiv_icon

11:27 Uhr, 01.05.2023

Vielen Dank, jetzt ist es mir ersichtlich geworden.

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