Orthodrome: Berechnung Kurswinkel, Scheitelpunkt

Hallo zusammen!

Ich versuche derzeit die Strecke, den Kurswinkel und den nördlichsten Punkt / Scheitelpunkt von Orthodromen zu berechnen. Orthodrome: Kürzeste Verbindung zweier Punkte auf der Kugel.

Geg.: ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|{\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}});\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left|{\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$

Die Streckenberechnung funktioniert wie folgt: (Seitencosiunussatzumformung)

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)+\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\Delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Multipliziert man anschließend e mit dem Radius der Erde, so kommt man auf die Entfernung der beiden Punkte auf der Erde.

Diese Formel scheint richtig zu sein, da die Ergebnisse identisch mit den Ergebnissen von diesem Onlinerechner sind.

Für die Kurswinkelberechnung habe ich auch bereits eine Formel: (Seitencosiunussatzumformung)

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}}$

Setze ich aber bei dieser Formel folgende Werte ein: A (-11,5°|48,1°); B (-139,9°|35,6°), so komme ich mit meinem Taschenrechner auf folgenden Kurswinkel: 39,8°. Dieser Winkel ist auch die Lösung meines Buches. Allerdings sagt mir der Onlinerechner einen anderen Kurswinkel, nämlich 320,1949°.

Nun ist die Frage: Welcher ist richtig?

Für die Berechnung des Scheitelpunktes (nördlichsten Punktes) habe ich auch eine Formel:

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Alpha ist hier der Anfangskurswinkel.

(${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist natürlich ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.)

Ich gehe mal davon aus, dass der Kurswinkel mit 39,8° stimmt, da er so in einem Buch festgehalten wurde und setze diesen in die obigen Formeln ein.

Somit komme ich auf folgende Ergebnisse:

${\displaystyle {\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=64,69\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=58,20\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Um diesen Punkt zu überprüfen habe ich in Sphäri (Programm zum Zeichnen von Kugeln, Großkreisen etc.) durch die Punkte A und B mit den oben genannten Koordinaten einen Großkreis [== Kürzeste Verbindung) ziehen lassen und habe den Punkt S eingefügt. Der Punkt S lag nicht auf dem Großkreis, was beweist, dass dieser Scheitelpunkt nicht richtig sein kann.

[Verwende ich den Winkel 320° von dem Onlinerechner, komme ich wiederum auf einen nicht auf dem Großkreis liegenden Punkt]

Ich bin wirklich am Verzweifeln und bitte um Hilfe.

Grüße aus Bayern.

Wolfii

komisch, in der Diplomarbeit taucht wieder eine andere Formel zur Berechnung des Kurswinkels auf:

${\displaystyle \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\Delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)*\mathrm{tan<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\Delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{cot<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Habe die Punktebezeichnungen durch meine ersetzt.

Mit dieser Formel kommt man wieder auf einen anderen Kurswinkel: ~35°, wenn ich mich nicht verrechnet habe :(

Hallo,

ich denke, Du hast im wesentlichen alles richtig gerechnet. Den Kurswinkel von ${\displaystyle {39,8051}^{\circ }}$ habe ich auch herausbekommen. Die Orthodrome geht ja vom Punkt A in westlicher Richtung zum Punkt B. Der Winkel ${\displaystyle {39,8051}^{\circ }}$ wird deshalb in Deinem Beispiel von der Nordrichtung im Punkt A in Richtung Westen gemessen. In der Navigation und der Geodäsie werden Kurswinkel aber in der Regel von Norden über Osten usw. gerechnet. Die Ostrichtung entspricht dann z.B. einem Winkel von ${\displaystyle {90}^{\circ }}$, die Westrichtung wäre dann ${\displaystyle {270}^{\circ }}$ und der Kurswinkel Deines Beispiels wäre dann ${\displaystyle {320,1949}^{\circ }}$. Das heißt, daß die beiden Winkel ${\displaystyle {39,8051}^{\circ }}$ und ${\displaystyle {320,1949}^{\circ }}$ gleichwertig sind (der eine wird in Richtung Westen und der andere in Richtung Osten gezählt). Es gilt auch ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({39,8051}^{\circ }\right)=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({320,1949}^{\circ }\right)}$ und ${\displaystyle {39,8051}^{\circ }+{320,1949}^{\circ }={360}^{\circ }}$.

Nun zum Problem mit dem nördlichsten Punkt (Scheitelpunkt). Die geografische Breite des Scheitelpunktes ${\displaystyle {\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={64,69}^{\circ }}$ ist meiner Meinung nach auch richtig. Nur der Winkel ${\displaystyle {58,20}^{\circ }}$ (ich bekomme da ${\displaystyle {58,19}^{\circ }}$ heraus) ist nicht die geografische Länge des Scheitelpunktes sondern das ist die Differenz zwischen der geografischen Länge des Ausgangspunktes A und der geografischen Länge des Scheitelpunktes, also:

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={58,19}^{\circ }\Rightarrow {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-{58,19}^{\circ }=-{11,5}^{\circ }-{58,19}^{\circ }=-{69,69}^{\circ }}$

Also sollten die Koordinaten des Scheitelpunktes ${\displaystyle (-{69,69}^{\circ }|{64,69}^{\circ })}$ sein.

Vielleicht kannst Du das mal mit Deinem Programm Sphäri überprüfen, ob dieser Scheitelpunkt auf dem Großkreis zwischen A und B liegt.

Viele Grüße aus München

Yokozuna

Boah, ich weiß gar nicht wie ich dir danken soll.

Du hast jedes Problem gelöst und auch noch so erklärt, dass ich es verstanden habe :).

Nur eine kleine Frage bez. des Kurswinkels hätte ich noch: Wie kann ich rechnerisch feststellen, in welche Richtung (Osten, Westen, Norden, Süden) der Kurswinkel verläuft?

(Also z.B. in meinem Beispiel nach Westen?)

Hallo,

es freut mich, daß ich Dir helfen konnte. Nun noch zu dem Problem mit dem Kurswinkel. Das kann man mittels der Längengrade der beiden Orte entscheiden. Die Längengrade werden ja von ${\displaystyle -{180}^{\circ }={180}^{\circ }\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bis ${\displaystyle +{180}^{\circ }={180}^{\circ }\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gezählt. Ich habe zur Verdeutlichung ein kleines Bild beigefügt. Wir blicken auf den Nordpol der Erde. Der Kreis ist der Äquator mit den Längengraden. Der Ort A liegt auf dem Großkreis, der durch A und den Nordpol (und auch den Südpol) geht (Meridian). Alle Punkte auf diesem Großkreis, die auf der gleichen Seite des Nordpols (und des Südpols) wie der Punkt A liegen, haben die gleiche Länge ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Alle Punkte auf diesem Großkreis, die nicht auf der gleichen Seite des Nordpols liegen wie der Punkt A, haben die geografische Länge ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{180}^{\circ }}$. Dieser Großkreis teilt die Erde aus Sicht von A in zwei Hälften, eine westliche (rot schattiert) und eine östliche (blau schattiert).

Wenn wir nun den Kurwinkel ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ zu einem Zielort berechnet haben, schauen wir uns die geografische Länge des Zielorts an. Liegt die geografische Länge des Zielorts (hier z.B. der Punkt B) aus der Sicht von A auf der westlichen Halbkugel (im rot schattierten Bereich), so geht der Kurs nach Westen, und wir nehmen als Kurswinkel ${\displaystyle {360}^{\circ }-\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Liegt die geografische Länge des Zielorts (hier z.B. der Punkt C) aus der Sicht von A dagegen auf der östlichen Halbkugel (im blau schattierten Bereich), so geht der Kurs nach Osten, und wir nehmen als Kurswinkel ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Ein Sonderfall ist noch, wenn der Zielort die gleiche geografische Länge wie A hat oder die geografische Länge ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{180}^{\circ }}$. Dann liegt die Orthodrome auf dem Großkreis durch A und den Nordpol und der Kurswinkel ist entweder ${\displaystyle 0^{\circ }}$ oder ${\displaystyle {180}^{\circ }}$, je nachdem, in welcher Richtung die Distanz zum Zielort kleiner ist.

Viele Grüße

Yokozuna

Hallo!

Vielen, vielen Dank! Nun habe ich alles verstanden.

Und jetzt weiß ich auch schon, was ich nach dem Abi machen will: Irgendetwas mathematisches studieren, die Leute sind einfach viel hilfsbereiter und netter. :)

Gruß

Wolfii